Hữu tỉ hóa tử số là gì
Hữu tỉ hóa tử số viết lại một phân số sao cho không còn căn bậc hai ở phía trên. Đây là hình ảnh phản chiếu của việc hữu tỉ hóa mẫu số, và là mẹo tiêu chuẩn để đơn giản hóa giới hạn trong giải tích, nơi một hiệu chứa căn như \(\sqrt{x+h} - \sqrt x\) ở tử số nếu không sẽ tạo ra dạng vô định 0/0 khó chịu. Máy tính này xử lý hai dạng: tử số một căn \(\sqrt a / b\) và tử số nhị thức (liên hợp) \((c + \sqrt d) / b\).
Cách sử dụng
Chọn loại tử số. Với trường hợp đơn giản, nhập giá trị a dưới dấu căn và mẫu số b. Với trường hợp liên hợp, nhập phần hữu tỉ c, giá trị d dưới dấu căn và mẫu số b. Công cụ trả về tử số đã hữu tỉ hóa (không còn căn) và giá trị thập phân chính xác của toàn bộ biểu thức, giá trị này không bao giờ thay đổi vì bạn đang nhân với một dạng của số 1.
Giải thích công thức
Với một căn đơn, nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt a\). Vì \(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\), tử số trở thành số hữu tỉ a:
$$\frac{\sqrt a}{b} = \frac{a}{b\,\sqrt a}$$Với tử số nhị thức, nhân với biểu thức liên hợp \(c - \sqrt d\). Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \((c + \sqrt d)(c - \sqrt d) = c^2 - d\) khử căn, nên tử số trở thành số hữu tỉ \(c^2 - d\):
$$\frac{c + \sqrt d}{b} = \frac{c^2 - d}{b\left(c - \sqrt d\right)}$$Ví dụ minh họa
Xét \((2 + \sqrt 3) / 5\). Biểu thức liên hợp của tử số là \(2 - \sqrt 3\), và tử số mới là \(2^2 - 3 = 1\). Vậy biểu thức bằng
$$\frac{2 + \sqrt 3}{5} = \frac{1}{5\left(2 - \sqrt 3\right)} \approx 0.7464.$$Căn đã được chuyển ra khỏi tử số, và giá trị thập phân không thay đổi. Máy tính báo tử số đã hữu tỉ hóa là 1 và giá trị 0.7464.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao tôi cần hữu tỉ hóa tử số? Đây là bước then chốt để tính các giới hạn như \(\lim_{h \to 0} (\sqrt{x+h} - \sqrt x)/h\); khử căn ở tử sẽ triệt tiêu h và loại bỏ dạng vô định 0/0.
Hữu tỉ hóa có làm thay đổi giá trị không? Không. Bạn nhân với biểu thức liên hợp chia cho chính nó, bằng 1, nên con số vẫn giữ nguyên và chỉ thay đổi cách viết.
Nếu c bình phương trừ d là số âm thì sao? Không sao cả. Tử số đã hữu tỉ hóa vẫn là số hữu tỉ; dấu âm chỉ được mang theo, và giá trị thập phân vẫn đúng.
