分子の有理化とは
分子の有理化は、分数の上側に平方根が残らないように書き換えることです。これは分母の有理化の鏡像であり、微分積分で極限を簡単にするための定番の手法です。分子に \(\sqrt{x+h} - \sqrt x\) のような根号を含む差があると、そのままでは厄介な 0/0 の不定形になってしまいます。この計算機は2つの形を扱います。単一の根号を持つ分子 \(\sqrt a / b\) と、二項（共役）の分子 \((c + \sqrt d) / b\) です。
使い方
分子の種類を選びます。単純な場合は、平方根の下の値 a と分母 b を入力します。共役の場合は、有理部分 c、根号の下の値 d、分母 b を入力します。このツールは、有理化された（根号のない）分子と、式全体の正確な小数値を返します。1の形を掛けているだけなので、この値が変わることはありません。
公式の解説
単一の根号の場合、分子と分母を \(\sqrt a\) で掛けます。\(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\) なので、分子は有理数 a になります。
$$\frac{\sqrt a}{b} = \frac{a}{b\,\sqrt a}$$二項の分子の場合は、共役 \(c - \sqrt d\) を掛けます。平方の差の公式 \((c + \sqrt d)(c - \sqrt d) = c^2 - d\) が根号を消すので、分子は有理数 \(c^2 - d\) になります。
$$\frac{c + \sqrt d}{b} = \frac{c^2 - d}{b\left(c - \sqrt d\right)}$$計算例
\((2 + \sqrt 3) / 5\) を考えます。分子の共役は \(2 - \sqrt 3\) で、新しい分子は \(2^2 - 3 = 1\) です。したがって、この式は次のようになります。
$$\frac{2 + \sqrt 3}{5} = \frac{1}{5\left(2 - \sqrt 3\right)} \approx 0.7464.$$根号は分子から外に移り、小数値は変わりません。計算機は有理化された分子 1 と値 0.7464 を返します。
よくある質問
なぜ分子を有理化するのですか？ これは \(\lim_{h \to 0} (\sqrt{x+h} - \sqrt x)/h\) のような極限を求めるための重要なステップです。上側の根号を消すと h が約分され、0/0 の不定形がなくなります。
有理化すると値は変わりますか？ いいえ。共役をそれ自身で割ったもの、つまり1を掛けているので、数値は同じままで、書き方だけが変わります。
c の2乗から d を引いた値が負の場合はどうなりますか？ 問題ありません。有理化された分子は依然として有理数です。負の符号がそのまま引き継がれるだけで、小数値は正しいままです。
