斜率計算機

輸入計算

X1

Y1

X2

Y2

結果

斜率（m）

2

垂直變化 / 水平變化

X 的變化量（水平變化）	3
Y 的變化量（垂直變化）	6
傾斜角度	63.43°
Y 軸截距（b）	0
兩點距離	6.7082
是否為垂直線？	No

什麼是斜率計算機？

斜率計算機可以算出座標平面上連接兩點的直線有多陡。斜率通常以 \(m\) 表示，代表直線每往水平方向移動一個單位時，會在垂直方向上升（或下降）多少。除了斜率之外，這個工具還會一併計算出 x 的變化量（水平變化）、y 的變化量（垂直變化）、傾斜角度、直線的 y 軸截距，以及兩點之間的直線距離。

使用方法

先輸入第一個點的座標（X1、Y1），再輸入第二個點的座標（X2、Y2），結果就會自動顯示。若兩個 x 值相同，代表這是一條垂直線，斜率為「無定義」，計算機會自動提醒你這個情況。

公式說明

斜率的定義就是「垂直變化除以水平變化」：

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

分子 \(y_2 - y_1\) 是垂直方向的變化量，分母 \(x_2 - x_1\) 則是水平方向的變化量。算出斜率後，可用

$$b = y_1 - m \cdot x_1$$

求出 y 軸截距；而兩點之間的距離則套用畢氏定理：

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

斜率等於縱向變化除以橫向變化：兩點之間垂直變化除以水平變化。

實例演算

以（1, 2）與（4, 8）兩點為例：水平變化為 \(4 - 1 = 3\)，垂直變化為 \(8 - 2 = 6\)，因此

$$m = \frac{6}{3} = 2$$

y 軸截距為 \(b = 2 - 2 \cdot 1 = 0\)，兩點距離則為

$$d = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} \approx 6.708$$

在同一座標軸上比較斜率為正、負、零和未定義的直線。

常見問題

斜率為負代表什麼？斜率為負，表示直線由左往右下降－也就是 x 增加時，y 反而減少。

為什麼垂直線的斜率是無定義？因為此時 \(x_2 - x_1 = 0\)，而除以零在數學上是無定義的。

斜率為零又代表什麼？斜率為零是一條完全水平的直線，此時 y 值維持不變。