ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة الحالة الكلاسيكية المعروفة بـزاوية-ضلع-زاوية (ASA). تُدخِل أنت ضلعًا واحدًا من المثلث مع الزاويتين الواقعتين عند طرفي هذا الضلع، فتُعيد لك الحاسبة مساحة المثلث ومحيطه والارتفاع المرسوم من الرأس المقابل عموديًا حتى الضلع المُعطى. ويمكن إدخال الزوايا بالدرجات أو بالراديان.
طريقة الاستخدام
اختر أولًا وحدة قياس الزاوية (درجات أو راديان) — وتُطبَّق الوحدة نفسها على الزاويتين معًا. ثم أدخِل الزاوية θ1 (الزاوية عند أحد طرفي الضلع)، والزاوية θ2 (الزاوية عند الطرف الآخر)، والضلع المحصور a. يجب أن تكون كل من الزاويتين موجبة، وأن يبقى مجموعهما أقل من 180° (\(\pi\) راديان) كي ينغلق المثلث فعليًا؛ وإلا فستُعتبر النتيجة غير صالحة.
شرح المعادلة
الزاوية الثالثة هي \(\theta_3 = \pi - \theta_1 - \theta_2\)، وبما أن \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\) فإن \(\sin(\theta_3) = \sin(\theta_1 + \theta_2)\). وبتطبيق قانون الجيوب يكون الضلعان الآخران \(b = \dfrac{a\cdot\sin\theta_2}{\sin(\theta_1+\theta_2)}\) وَ \(c = \dfrac{a\cdot\sin\theta_1}{\sin(\theta_1+\theta_2)}\). ومنها تأتي المساحة
$$S = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{\sin\theta_1\cdot\sin\theta_2}{\sin(\theta_1+\theta_2)}$$والمحيط \(L = a + b + c\)، أما الارتفاع المرسوم إلى الضلع \(a\) فهو ببساطة \(h = \dfrac{2S}{a}\) (واستخدام المساحة هنا يتجنّب انفلات الظل عندما تساوي إحدى الزوايا 90°).
مثال محلول
عند \(\theta_1 = 30°\) وَ \(\theta_2 = 60°\) وَ \(a = 1\): نجد \(\sin 30° = 0.5\)، وَ \(\sin 60° = 0.8660254\)، وَ \(\theta_1+\theta_2 = 90°\) إذن \(\sin(\text{المجموع}) = 1\). فتكون المساحة
$$S = \frac{1}{2}\left(\frac{0.5\cdot 0.8660254}{1}\right) = 0.2165064$$والارتفاع \(h = \dfrac{2\cdot 0.2165064}{1} = 0.4330127\). والضلعان \(b = 0.8660254\) وَ \(c = 0.5\) يعطيان المحيط \(L = 1 + 0.8660254 + 0.5 = 2.3660254\).
الأسئلة الشائعة
ما معنى "الضلع المحصور"؟ هو الضلع الوحيد الذي يلامس الزاويتين اللتين أدخلتهما — أي الضلع الواقع بين \(\theta_1\) وَ \(\theta_2\).
لماذا يظهر مثلثي على أنه غير صالح؟ لأن مجموع الزاويتين بلغ 180° أو أكثر فلم يبقَ متّسع للزاوية الثالثة، أو لأنه تم إدخال ضلع أو زاوية غير موجب.
هل يمكنني استخدام الراديان؟ نعم — اختر خيار الراديان وأدخِل الزاويتين بالراديان؛ ويُحوَّل كل شيء داخليًا قبل تطبيق أي دالة مثلثية.
