¿Qué es la distribución beta?
La distribución beta es una distribución de probabilidad continua definida en el intervalo [0, 1] y gobernada por dos parámetros de forma positivos: α (alfa) y β (beta). Como vive en el intervalo unitario, resulta la opción natural para modelar proporciones, probabilidades, porcentajes y tasas; por ejemplo, una tasa de conversión, un promedio de bateo o la probabilidad de éxito desconocida en la inferencia bayesiana (es la distribución a priori conjugada de la binomial).
Cómo usar esta calculadora
Introduce los dos parámetros de forma α y β (ambos deben ser mayores que 0) y un valor x entre 0 y 1. La calculadora devuelve la densidad de probabilidad \(f(x)\) en ese punto, junto con la media, la varianza, la desviación típica y la moda de la distribución. Un α mayor desplaza la masa hacia el 1; un β mayor la desplaza hacia el 0; y valores iguales la hacen simétrica en torno a 0,5.
La fórmula explicada
La media es $$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ y la varianza es $$\sigma^2 = \frac{\alpha\,\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}.$$ La densidad de probabilidad es $$f(\text{x};\,\alpha,\beta) = \frac{\text{x}^{\,\alpha-1}\left(1-\text{x}\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)},$$ donde \(B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}\) es la función beta que normaliza la curva para que su área total sea igual a 1. La moda (el pico) se encuentra en \(\frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}\) cuando tanto α como β son mayores que 1.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\alpha = 2\), \(\beta = 5\), \(\text{x} = 0{,}5\). La media es \(\frac{2}{7} \approx 0{,}2857\). La varianza es \(\frac{2\cdot 5}{\left(7^2\right)\left(8\right)} = \frac{10}{392} \approx 0{,}02551\). Con \(B(2, 5) = \frac{1}{30}\), la densidad es $$f(0{,}5) = 0{,}5^1 \cdot 0{,}5^4 \cdot 30 = 0{,}5^5 \cdot 30 = 0{,}03125 \cdot 30 = 0{,}9375.$$
Cómo los parámetros de forma cambian la distribución
La distribución Beta se encuentra en el intervalo \([0,1]\) y su forma completa está controlada por los dos parámetros de forma positivos \(\alpha\) y \(\beta\). La media es siempre \(\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\), la varianza es \(\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\), y la moda (cuando \(\alpha,\beta>1\)) es \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\). La tabla a continuación muestra varios pares de parámetros clásicos.
| (α, β) | Forma | Media = α/(α+β) | Moda | Varianza |
|---|---|---|---|---|
| (1, 1) | Uniforme (plana) en [0,1] | 0.5 | ninguna (plana) | 0.0833 |
| (0.5, 0.5) | Con forma de U (masa en ambos extremos, arcoseno) | 0.5 | 0 y 1 (antimódas) | 0.1250 |
| (2, 2) | Campana simétrica, pico en el centro | 0.5 | 0.5 | 0.0500 |
| (5, 5) | Campana simétrica más cerrada | 0.5 | 0.5 | 0.0227 |
| (2, 5) | Sesgada a la derecha (masa hacia 0) | 0.2857 | 0.2 | 0.0255 |
| (5, 2) | Sesgada a la izquierda (masa hacia 1) | 0.7143 | 0.8 | 0.0255 |
Dos patrones se destacan. Primero, intercambiar \(\alpha\) y \(\beta\) refleja la distribución alrededor de \(x=0.5\), de modo que (2,5) y (5,2) tienen la misma forma y varianza pero sesgo opuesto. Segundo, aumentar ambos parámetros mientras se mantiene su razón fija (por ejemplo (2,2) \(\to\) (5,5)) mantiene la media en 0.5 pero reduce la varianza, concentrando la curva más estrechamente alrededor de la media.
Interpretación de su resultado Beta
Como la distribución Beta está soportada en \([0,1]\), es el modelo natural para una proporción, probabilidad o tasa desconocida. Cada estadístico de resumen responde una pregunta diferente:
- Media \(\mu=\alpha/(\alpha+\beta)\) es la proporción esperada — su mejor estimación de un solo número de la probabilidad subyacente.
- Moda \((\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)\) es el valor más probable, es decir, la ubicación del pico de la densidad. Existe como un pico interior solo cuando \(\alpha>1\) y \(\beta>1\); de lo contrario, la masa se acumula en un extremo.
- Varianza y desviación estándar miden la dispersión, o cuánta incertidumbre permanece sobre la proporción. Una desviación estándar pequeña significa que es confiable que el valor verdadero se encuentre cerca de la media.
La cantidad \(\alpha+\beta\) actúa como un tamaño de muestra o concentración: cuanto mayor sea, menor será la varianza y más estrechamente se concentrará la densidad alrededor de la media. Dos distribuciones pueden compartir la misma media pero tener certeza muy diferente — Beta(2,2) y Beta(50,50) están ambas centradas en 0.5, pero la última es mucho más estrecha.
En inferencia bayesiana, Beta es la distribución previa conjugada para una probabilidad binomial (Bernoulli). Si comienza con una previa Beta(\(\alpha_0,\beta_0\)) y luego observa \(s\) éxitos y \(f\) fracasos, la posterior es simplemente Beta(\(\alpha_0+s,\ \beta_0+f\)). Con una previa uniforme Beta(1,1), \(\alpha\) efectivamente cuenta éxitos \(+1\) y \(\beta\) cuenta fracasos \(+1\); la media posterior \((s+1)/(s+f+2)\) es la regla clásica de sucesión de Laplace.
Finalmente, recuerde que \(f(x)\) es una densidad de probabilidad, no una probabilidad. Su valor puede exceder 1 (por ejemplo, cerca del pico de una Beta estrechamente concentrada), y solo el área bajo la curva entre dos puntos — nunca la altura en un solo punto — da una probabilidad real. El área total sobre \([0,1]\) siempre es igual a 1.
Definiciones y glosario
- α (alfa)
- El primer parámetro de forma, \(\alpha>0\). Vagamente representa el peso de los "éxitos"; un \(\alpha\) más grande empuja la masa hacia 1.
- β (beta)
- El segundo parámetro de forma, \(\beta>0\). Vagamente representa el peso de los "fracasos"; un \(\beta\) más grande empuja la masa hacia 0.
- PDF f(x)
- La función de densidad de probabilidad, \(f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\) para \(0\le x\le 1\). Describe la probabilidad relativa; las probabilidades son áreas bajo ella.
- Función Beta B(α,β)
- La constante de normalización, \(B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\). Dividir por ella hace que la densidad se integre a 1.
- Función Gamma Γ
- Una extensión continua del factorial, \(\Gamma(n)=(n-1)!\) para enteros positivos, definida generalmente por \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\). Vincula las funciones Beta y Gamma anteriores.
- Media
- El valor esperado, \(\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\) — el promedio de proporción a largo plazo.
- Varianza
- Una medida de dispersión, \(\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\).
- Desviación estándar
- La raíz cuadrada de la varianza, \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\), expresada en las mismas unidades que \(x\).
- Moda
- El valor más probable (pico de la densidad), \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\) cuando \(\alpha>1\) y \(\beta>1\).
- Previa conjugada
- Una distribución previa que, combinada con una probabilidad dada, produce una posterior en la misma familia. Beta es la previa conjugada para la probabilidad binomial/Bernoulli.
- Soporte [0,1]
- El rango de valores que puede tomar la variable aleatoria. La distribución Beta se define solo en el intervalo cerrado \([0,1]\), lo que la hace ideal para proporciones y probabilidades.
Preguntas frecuentes
¿Pueden α o β ser menores que 1? Sí: los valores inferiores a 1 generan una curva con forma de U o de J cuya densidad se dispara hacia los extremos. En ese caso, la densidad en los límites puede no estar acotada.
¿Cuándo es uniforme la distribución beta? Cuando \(\alpha = \beta = 1\) la PDF es plana y vale 1 en todo el intervalo [0, 1], es decir, coincide exactamente con la distribución uniforme.
¿Por qué x debe estar entre 0 y 1? La distribución beta tiene densidad cero fuera de [0, 1], por lo que los valores que quedan fuera de ese rango no están definidos para la PDF.
