Qué hace la Calculadora del Centro de Masa de una Varilla Delgada
Esta calculadora encuentra el centro de masa de una varilla recta y delgada de longitud L, medido desde el extremo situado en x = 0. Admite dos casos. Para una varilla uniforme (densidad constante), el centro de masa se sitúa exactamente en el punto medio, L/2. Para una varilla con densidad que varía linealmente, descrita por λ(x) = λ₀ + kx, la calculadora integra la distribución de densidad para localizar el punto de equilibrio exacto, y además informa de la masa total de la varilla, la densidad en el extremo más alejado y a qué distancia a lo largo de la varilla (como fracción y porcentaje de L) se encuentra el centro de masa.
Cómo usarla
- Elige el tipo de varilla: densidad uniforme o densidad que varía linealmente.
- Introduce la longitud L de la varilla. Las etiquetas usan metros, pero sirve cualquier unidad de longitud: el resultado sale en la misma unidad que introduzcas.
- Para una varilla de densidad variable, introduce λ₀, la densidad lineal en el extremo x = 0 (en kg/m), y k, el gradiente de densidad (en kg/m²). Usa un k negativo para una varilla que se vuelve más ligera a lo largo de su longitud; la densidad debe mantenerse no negativa en toda la varilla.
- Pulsa Calcular. El resultado principal es la posición del centro de masa x̄ medida desde el extremo x = 0, junto con la masa total y el desglose de la posición para varillas no uniformes.
La fórmula explicada
Para cualquier varilla delgada situada sobre el eje x desde 0 hasta L con densidad lineal de masa λ(x), el centro de masa es la posición promedio ponderada por la masa:
$$\bar{x} = \frac{\int_0^L x\,\lambda(x)\,dx}{\int_0^L \lambda(x)\,dx}$$Varilla uniforme. Cuando λ es constante, se cancela en el cociente y queda el conocido resultado del punto medio:
$$\bar{x} = \frac{L}{2}$$Densidad que varía linealmente. Con λ(x) = λ₀ + kx, tanto el denominador (la masa total M) como el numerador (el primer momento de masa respecto a x = 0) se integran de forma cerrada:
$$M = \int_0^L (\lambda_0 + kx)\,dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$$ $$\int_0^L x\,(\lambda_0 + kx)\,dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3}$$Al dividir el primer momento entre la masa se obtiene el centro de masa:
$$\bar{x} = \frac{\dfrac{\lambda_0 L^2}{2} + \dfrac{kL^3}{3} }{\lambda_0 L + \dfrac{kL^2}{2} } = \frac{L\,(3\lambda_0 + 2kL)}{3\,(2\lambda_0 + kL)}$$Cuando k > 0 la varilla es más pesada hacia x = L, por lo que x̄ queda más allá del punto medio; cuando k < 0 se desplaza hacia x = 0. Al hacer k = 0 la expresión vuelve a reducirse a L/2, como debe ser.
Ejemplo resuelto
Toma una varilla de longitud L = 2 m cuya densidad crece desde λ₀ = 2 kg/m en un extremo con gradiente k = 3 kg/m², de modo que λ(x) = 2 + 3x y el extremo más alejado tiene densidad 2 + 3·2 = 8 kg/m.
Masa total: M = λ₀L + kL²/2 = 2·2 + 3·(2)²/2 = 4 + 6 = 10 kg.
Primer momento: λ₀L²/2 + kL³/3 = 2·(2)²/2 + 3·(2)³/3 = 4 + 8 = 12 kg·m.
Centro de masa: x̄ = 12 / 10 = 1.2 m desde el extremo ligero: es decir, el 60 % del recorrido a lo largo de la varilla, más allá del punto medio situado en 1 m, exactamente como cabe esperar para una varilla que es más pesada en el extremo más alejado.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el centro de masa de una varilla uniforme está en L/2? Por simetría: cada pequeño elemento de masa situado a una distancia d a un lado del punto medio tiene un elemento idéntico a la misma distancia d al otro lado, de modo que sus contribuciones al promedio ponderado se cancelan y el punto de equilibrio cae justo en el centro.
¿Puede el gradiente de densidad k ser negativo? Sí. Un k negativo describe una varilla que se vuelve más ligera desde x = 0 hacia x = L, lo que desplaza el centro de masa hacia el extremo x = 0. La única restricción es física: λ(x) = λ₀ + kx debe mantenerse no negativa en toda la varilla, por lo que se requiere λ₀ + kL ≥ 0.
¿Qué significa aquí "varilla delgada"? Es la idealización unidimensional habitual: la sección transversal de la varilla es pequeña en comparación con su longitud y uniforme a lo largo de ella, de modo que toda la masa puede tratarse como distribuida a lo largo de una línea. El resultado da entonces la posición del centro de masa a lo largo del eje de la varilla.
