가는 막대 질량 중심 계산기의 기능
이 계산기는 길이가 L인 곧고 가는 막대의 질량 중심을 x = 0에 있는 막대 끝에서 측정하여 구합니다. 두 가지 경우를 지원합니다. 균일한 막대(밀도가 일정)에서는 질량 중심이 정확히 중점, 즉 L/2에 있습니다. 밀도가 선형으로 변하는 막대(λ(x) = λ₀ + kx로 표현됨)에서는 계산기가 밀도 분포를 적분하여 정확한 균형점을 찾고, 아울러 막대의 총 질량, 먼 쪽 끝의 밀도, 그리고 질량 중심이 막대를 따라 얼마나 떨어져 있는지(L에 대한 분수와 백분율)를 함께 알려줍니다.
사용 방법
- 막대 종류를 선택합니다. 균일 밀도 또는 선형으로 변하는 밀도입니다.
- 막대 길이 L을 입력합니다. 라벨은 미터를 쓰지만 어떤 길이 단위든 사용할 수 있으며, 결과는 입력한 것과 같은 단위로 나옵니다.
- 밀도가 변하는 막대의 경우, x = 0 끝에서의 선밀도 λ₀(단위 kg/m)와 밀도 기울기 k(단위 kg/m²)를 입력합니다. 길이를 따라 가벼워지는 막대에는 음의 k를 사용하세요. 밀도는 막대 전체에서 음이 되지 않아야 합니다.
- 계산을 누릅니다. 주요 결과는 x = 0 끝에서 측정한 질량 중심 위치 x̄이며, 균일하지 않은 막대의 경우 총 질량과 위치 세부 정보도 함께 표시됩니다.
공식 설명
선질량 밀도 λ(x)를 가지고 x축을 따라 0에서 L까지 놓인 임의의 가는 막대에서, 질량 중심은 질량으로 가중한 평균 위치입니다.
$$\bar{x} = \frac{\int_0^L x\,\lambda(x)\,dx}{\int_0^L \lambda(x)\,dx}$$균일한 막대. λ가 일정하면 비에서 약분되어 익숙한 중점 결과가 남습니다.
$$\bar{x} = \frac{L}{2}$$선형으로 변하는 밀도. λ(x) = λ₀ + kx일 때, 분모(총 질량 M)와 분자(x = 0에 대한 질량의 일차 모멘트) 모두 닫힌 형태로 적분됩니다.
$$M = \int_0^L (\lambda_0 + kx)\,dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$$ $$\int_0^L x\,(\lambda_0 + kx)\,dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3}$$일차 모멘트를 질량으로 나누면 질량 중심이 나옵니다.
$$\bar{x} = \frac{\dfrac{\lambda_0 L^2}{2} + \dfrac{kL^3}{3} }{\lambda_0 L + \dfrac{kL^2}{2} } = \frac{L\,(3\lambda_0 + 2kL)}{3\,(2\lambda_0 + kL)}$$k > 0이면 막대는 x = L 쪽이 더 무거우므로 x̄가 중점을 지나칩니다. k < 0이면 x = 0 쪽으로 이동합니다. k = 0으로 두면 식은 당연히 다시 L/2로 줄어듭니다.
풀이 예시
길이 L = 2 m인 막대를 생각해 봅시다. 밀도는 한쪽 끝의 λ₀ = 2 kg/m에서 기울기 k = 3 kg/m²로 커지므로 λ(x) = 2 + 3x이고, 먼 쪽 끝의 밀도는 2 + 3·2 = 8 kg/m입니다.
총 질량: M = λ₀L + kL²/2 = 2·2 + 3·(2)²/2 = 4 + 6 = 10 kg.
일차 모멘트: λ₀L²/2 + kL³/3 = 2·(2)²/2 + 3·(2)³/3 = 4 + 8 = 12 kg·m.
질량 중심: x̄ = 12 / 10 = 1.2 m, 가벼운 끝에서 잰 값입니다. 이는 막대 길이의 60% 지점으로, 1 m의 중점을 지나며, 먼 쪽 끝이 가장 무거운 막대에서 예상되는 그대로입니다.
자주 묻는 질문
균일한 막대의 질량 중심은 왜 L/2에 있나요? 대칭성 때문입니다. 중점의 한쪽으로 거리 d에 있는 작은 질량 요소마다 반대쪽 같은 거리 d에 동일한 요소가 있어서, 가중 평균에 대한 기여가 서로 상쇄되고 균형점은 정확히 가운데에 놓입니다.
밀도 기울기 k가 음수일 수 있나요? 네. 음의 k는 x = 0에서 x = L 쪽으로 갈수록 가벼워지는 막대를 나타내며, 질량 중심을 x = 0 끝으로 끌어당깁니다. 유일한 제약은 물리적인 것으로, λ(x) = λ₀ + kx가 막대 전체에서 음이 되지 않아야 하므로 λ₀ + kL ≥ 0이 필요합니다.
여기서 "가는 막대"란 무엇을 뜻하나요? 표준적인 1차원 이상화입니다. 막대의 단면은 길이에 비해 작고 길이를 따라 균일하므로, 모든 질량이 하나의 선을 따라 분포한다고 볼 수 있습니다. 그러면 결과는 막대 축을 따른 질량 중심의 위치를 줍니다.
