Ce que fait le calculateur du centre de masse d'une tige mince
Ce calculateur détermine le centre de masse d'une tige mince et droite de longueur L, mesuré depuis l'extrémité située en x = 0. Il traite deux cas. Pour une tige uniforme (densité constante), le centre de masse se trouve exactement au milieu, en L/2. Pour une tige à densité variant linéairement, décrite par λ(x) = λ₀ + kx, le calculateur intègre la distribution de densité afin de localiser le point d'équilibre exact ; il indique également la masse totale de la tige, la densité à l'extrémité éloignée et la position du centre de masse le long de la tige (sous forme de fraction et de pourcentage de L).
Comment l'utiliser
- Choisissez le type de tige : Densité uniforme ou Densité variant linéairement.
- Saisissez la longueur L de la tige. Les libellés utilisent les mètres, mais n'importe quelle unité de longueur convient — le résultat est exprimé dans l'unité que vous saisissez.
- Pour une tige à densité variable, saisissez λ₀, la densité linéique à l'extrémité x = 0 (en kg/m), et k, le gradient de densité (en kg/m²). Utilisez un k négatif pour une tige qui s'allège sur sa longueur ; la densité doit rester positive ou nulle sur toute la tige.
- Appuyez sur Calculer. Le résultat principal est la position du centre de masse x̄ mesurée depuis l'extrémité x = 0, accompagnée de la masse totale et du détail de position pour les tiges non uniformes.
La formule expliquée
Pour toute tige mince s'étendant le long de l'axe des x de 0 à L avec une densité de masse linéique λ(x), le centre de masse est la position moyenne pondérée par la masse :
$$\bar{x} = \frac{\int_0^L x\,\lambda(x)\,dx}{\int_0^L \lambda(x)\,dx}$$Tige uniforme. Lorsque λ est constante, elle se simplifie dans le rapport et il reste le résultat familier du milieu :
$$\bar{x} = \frac{L}{2}$$Densité variant linéairement. Avec λ(x) = λ₀ + kx, le dénominateur (la masse totale M) et le numérateur (le moment du premier ordre de la masse par rapport à x = 0) s'intègrent tous deux sous forme close :
$$M = \int_0^L (\lambda_0 + kx)\,dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$$ $$\int_0^L x\,(\lambda_0 + kx)\,dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3}$$En divisant le moment du premier ordre par la masse, on obtient le centre de masse :
$$\bar{x} = \frac{\dfrac{\lambda_0 L^2}{2} + \dfrac{kL^3}{3} }{\lambda_0 L + \dfrac{kL^2}{2} } = \frac{L\,(3\lambda_0 + 2kL)}{3\,(2\lambda_0 + kL)}$$Lorsque k > 0, la tige est plus lourde vers x = L, donc x̄ se situe au-delà du milieu ; lorsque k < 0, il se déplace vers x = 0. En posant k = 0, l'expression se ramène à L/2, comme il se doit.
Exemple résolu
Prenons une tige de longueur L = 2 m dont la densité croît depuis λ₀ = 2 kg/m à une extrémité avec un gradient k = 3 kg/m², de sorte que λ(x) = 2 + 3x et que l'extrémité éloignée ait une densité de 2 + 3·2 = 8 kg/m.
Masse totale : M = λ₀L + kL²/2 = 2·2 + 3·(2)²/2 = 4 + 6 = 10 kg.
Moment du premier ordre : λ₀L²/2 + kL³/3 = 2·(2)²/2 + 3·(2)³/3 = 4 + 8 = 12 kg·m.
Centre de masse : x̄ = 12 / 10 = 1.2 m depuis l'extrémité légère — soit 60% de la longueur de la tige, au-delà du milieu situé à 1 m, exactement comme attendu pour une tige la plus lourde à son extrémité éloignée.
Questions fréquentes
Pourquoi le centre de masse d'une tige uniforme est-il en L/2 ? Par symétrie : à chaque petit élément de masse situé à une distance d d'un côté du milieu correspond un élément identique à la distance d de l'autre côté, de sorte que leurs contributions à la moyenne pondérée s'annulent et que le point d'équilibre tombe exactement au centre.
Le gradient de densité k peut-il être négatif ? Oui. Un k négatif décrit une tige qui s'allège de x = 0 vers x = L, ce qui déplace le centre de masse vers l'extrémité x = 0. La seule restriction est physique : λ(x) = λ₀ + kx doit rester positive ou nulle sur toute la tige, d'où la condition λ₀ + kL ≥ 0.
Que signifie « tige mince » ici ? C'est l'idéalisation unidimensionnelle habituelle : la section de la tige est petite devant sa longueur et uniforme sur celle-ci, de sorte que toute la masse peut être considérée comme répartie le long d'une ligne. Le résultat donne alors la position du centre de masse le long de l'axe de la tige.
