पतली छड़ का द्रव्यमान केंद्र कैलकुलेटर क्या करता है
यह कैलकुलेटर लंबाई L वाली एक पतली, सीधी छड़ का द्रव्यमान केंद्र ज्ञात करता है, जिसे x = 0 पर स्थित छड़ के सिरे से मापा जाता है। यह दो स्थितियों को संभालता है। एकसमान छड़ (स्थिर घनत्व) के लिए द्रव्यमान केंद्र ठीक मध्यबिंदु, L/2 पर होता है। रैखिक रूप से बदलते घनत्व वाली छड़ के लिए, जिसे λ(x) = λ₀ + kx से वर्णित किया जाता है, कैलकुलेटर घनत्व वितरण का समाकलन करके सटीक संतुलन बिंदु निकालता है, और साथ ही छड़ का कुल द्रव्यमान, दूर वाले सिरे पर घनत्व, तथा छड़ के अनुदिश (L के अंश और प्रतिशत के रूप में) द्रव्यमान केंद्र कितनी दूर है, यह भी बताता है।
इसका उपयोग कैसे करें
- छड़ का प्रकार चुनें: एकसमान घनत्व या रैखिक रूप से बदलता घनत्व।
- छड़ की लंबाई L दर्ज करें। लेबल में मीटर का उपयोग है, पर कोई भी लंबाई इकाई चलती है — उत्तर उसी इकाई में आता है जिसमें आप दर्ज करते हैं।
- रैखिक रूप से बदलती छड़ के लिए, λ₀ दर्ज करें, जो x = 0 सिरे पर रैखिक घनत्व है (kg/m में), और k, घनत्व प्रवणता (kg/m² में)। ऐसी छड़ के लिए जो अपनी लंबाई के अनुदिश हल्की होती जाती है, ऋणात्मक k का उपयोग करें; पूरी छड़ पर घनत्व ऋणेतर रहना चाहिए।
- Calculate दबाएँ। मुख्य परिणाम x = 0 सिरे से मापी गई द्रव्यमान केंद्र की स्थिति x̄ है, साथ ही असमान छड़ों के लिए कुल द्रव्यमान और स्थिति का विवरण भी।
सूत्र की व्याख्या
रैखिक द्रव्यमान घनत्व λ(x) के साथ x-अक्ष पर 0 से L तक स्थित किसी भी पतली छड़ के लिए, द्रव्यमान केंद्र द्रव्यमान-भारित औसत स्थिति होती है:
$$\bar{x} = \frac{\int_0^L x\,\lambda(x)\,dx}{\int_0^L \lambda(x)\,dx}$$एकसमान छड़। जब λ स्थिर होता है तो यह अनुपात में से कट जाता है और परिचित मध्यबिंदु परिणाम बचता है:
$$\bar{x} = \frac{L}{2}$$रैखिक रूप से बदलता घनत्व। λ(x) = λ₀ + kx के साथ, हर (कुल द्रव्यमान M) और अंश (x = 0 के परितः द्रव्यमान का प्रथम आघूर्ण) दोनों संवृत रूप में समाकलित हो जाते हैं:
$$M = \int_0^L (\lambda_0 + kx)\,dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$$ $$\int_0^L x\,(\lambda_0 + kx)\,dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3}$$प्रथम आघूर्ण को द्रव्यमान से भाग देने पर द्रव्यमान केंद्र मिलता है:
$$\bar{x} = \frac{\dfrac{\lambda_0 L^2}{2} + \dfrac{kL^3}{3} }{\lambda_0 L + \dfrac{kL^2}{2} } = \frac{L\,(3\lambda_0 + 2kL)}{3\,(2\lambda_0 + kL)}$$जब k > 0 होता है तो छड़ x = L की ओर भारी होती है, इसलिए x̄ मध्यबिंदु से आगे पड़ता है; जब k < 0 होता है तो यह x = 0 की ओर खिसक जाता है। k = 0 रखने पर यह व्यंजक फिर से L/2 पर सिमट जाता है, जैसा कि होना ही चाहिए।
हल किया हुआ उदाहरण
लंबाई L = 2 m की एक छड़ लें जिसका घनत्व एक सिरे पर λ₀ = 2 kg/m से प्रवणता k = 3 kg/m² के साथ बढ़ता है, अतः λ(x) = 2 + 3x और दूर वाले सिरे का घनत्व 2 + 3·2 = 8 kg/m है।
कुल द्रव्यमान: M = λ₀L + kL²/2 = 2·2 + 3·(2)²/2 = 4 + 6 = 10 kg।
प्रथम आघूर्ण: λ₀L²/2 + kL³/3 = 2·(2)²/2 + 3·(2)³/3 = 4 + 8 = 12 kg·m।
द्रव्यमान केंद्र: x̄ = 12 / 10 = 1.2 m हल्के सिरे से — यानी छड़ के अनुदिश 60% दूरी पर, 1 m वाले मध्यबिंदु से आगे, ठीक वैसा ही जैसा दूर वाले सिरे पर सबसे भारी छड़ के लिए अपेक्षित है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
एकसमान छड़ का द्रव्यमान केंद्र L/2 पर क्यों होता है? सममिति के कारण: मध्यबिंदु के एक ओर दूरी d पर स्थित प्रत्येक छोटा द्रव्यमान अवयव दूसरी ओर उतनी ही दूरी d पर स्थित एक समान अवयव से मेल खाता है, इसलिए भारित औसत में उनके योगदान परस्पर कट जाते हैं और संतुलन बिंदु ठीक बीच में पड़ता है।
क्या घनत्व प्रवणता k ऋणात्मक हो सकती है? हाँ। ऋणात्मक k ऐसी छड़ को दर्शाता है जो x = 0 से x = L की ओर हल्की होती जाती है, जिससे द्रव्यमान केंद्र x = 0 सिरे की ओर खिंच जाता है। एकमात्र प्रतिबंध भौतिक है: λ(x) = λ₀ + kx पूरी छड़ पर ऋणेतर रहना चाहिए, इसलिए λ₀ + kL ≥ 0 आवश्यक है।
यहाँ "पतली छड़" का क्या अर्थ है? यह मानक एक-विमीय आदर्शीकरण है: छड़ का अनुप्रस्थ काट उसकी लंबाई की तुलना में छोटा और उसके अनुदिश एकसमान होता है, इसलिए पूरे द्रव्यमान को एक रेखा के अनुदिश वितरित मान लिया जा सकता है। तब परिणाम छड़ के अक्ष के अनुदिश द्रव्यमान केंद्र की स्थिति देता है।
