समानांतर अक्ष प्रमेय क्या है?
समानांतर अक्ष प्रमेय (जिसे ह्यूगेन्स–स्टाइनर प्रमेय भी कहते हैं) की मदद से आप किसी दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण किसी भी अक्ष के परितः निकाल सकते हैं — बशर्ते आपको पिंड के द्रव्यमान केंद्र से गुज़रने वाले समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण पता हो। इसका सूत्र है $$I = \text{I}_{cm} + \text{m} \cdot \text{d}^{2}$$ जहाँ \(\text{I}_{cm}\) द्रव्यमान-केंद्र अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है, \(\text{m}\) कुल द्रव्यमान है, और \(\text{d}\) दोनों समानांतर अक्षों के बीच की लंबवत दूरी है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीन मान दर्ज करें: द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण (\(\text{I}_{cm}\)) kg·m² में, वस्तु का द्रव्यमान (\(\text{m}\)) किलोग्राम में, और द्रव्यमान-केंद्र अक्ष तथा आपके नए घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी (\(\text{d}\)) मीटर में। कैलकुलेटर \(\text{m}\) को \(\text{d}^{2}\) से गुणा करके स्थानांतरण पद (shift term) निकालता है, फिर उसमें \(\text{I}_{cm}\) जोड़कर नए अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण बता देता है।
सूत्र की व्याख्या
चूँकि घूर्णन अक्ष को द्रव्यमान केंद्र से दूर ले जाने पर जड़त्व आघूर्ण हमेशा बढ़ता है, इसलिए \(\text{m} \cdot \text{d}^{2}\) पद हमेशा धनात्मक रहता है (या शून्य, जब दोनों अक्ष एक ही जगह हों)। द्रव्यमान केंद्र वह एकमात्र अक्ष-स्थिति है जहाँ जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम होता है — यही कारण है कि \(\text{I}_{cm}\) को आधार (baseline) माना जाता है। यह प्रमेय किसी भी दृढ़ पिंड और किसी भी समानांतर अक्ष-युग्म पर लागू होती है।
हल किया गया उदाहरण
10 kg द्रव्यमान वाली एक समरूप छड़ का द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण 0.5 kg·m² है। 2 m दूर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण निकालने के लिए: स्थानांतरण $$= \text{m} \cdot \text{d}^{2} = 10 \times 2^{2} = 40 \ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}$$ कुल $$I = 0.5 + 40 = 40.5 \ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या अक्ष का समानांतर होना ज़रूरी है? हाँ। यह प्रमेय तभी लागू होती है जब नया अक्ष द्रव्यमान-केंद्र अक्ष के समानांतर हो। असमानांतर अक्षों के लिए आपको पूर्ण जड़त्व प्रदिश (inertia tensor) की ज़रूरत होगी।
मुझे कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल करनी चाहिए? एक समान SI इकाइयाँ उपयोग करें: द्रव्यमान kg में, दूरी m में, और जड़त्व आघूर्ण kg·m² में। परिणाम भी kg·m² में आएगा।
क्या d शून्य हो सकता है? हाँ। यदि \(\text{d} = 0\) हो तो नया अक्ष द्रव्यमान-केंद्र अक्ष के साथ ही मिल जाता है, और तब \(I\) बस \(\text{I}_{cm}\) के बराबर हो जाता है।
