평행축 정리란?
평행축 정리(슈타이너 정리 또는 하위헌스–슈타이너 정리라고도 합니다)는 강체의 무게중심을 지나는 평행축에 대한 관성 모멘트만 알고 있으면, 그와 평행한 임의의 축에 대한 관성 모멘트를 구할 수 있게 해 주는 정리입니다. 공식은 $$I = \text{I}_{cm} + \text{m} \cdot \text{d}^{2}$$로 표현되며, 여기서 \(\text{I}_{cm}\)은 무게중심 축에 대한 관성 모멘트, \(\text{m}\)은 전체 질량, \(\text{d}\)는 두 평행축 사이의 수직 거리입니다.
계산기 사용 방법
세 가지 값을 입력합니다. 무게중심에 대한 관성 모멘트(\(\text{I}_{cm}\), 단위 \(\text{kg}\cdot\text{m}^2\)), 물체의 질량(\(\text{m}\), 단위 kg), 그리고 무게중심 축과 새로운 회전축 사이의 거리(\(\text{d}\), 단위 m)입니다. 계산기는 \(\text{m}\)에 \(\text{d}^2\)을 곱해 이동항을 구한 뒤, 여기에 \(\text{I}_{cm}\)을 더해 새 축에 대한 전체 관성 모멘트를 산출합니다.
공식 자세히 보기
회전축을 무게중심에서 멀리 옮기면 관성 모멘트는 항상 커지기 때문에, \(\text{m}\cdot\text{d}^2\) 항은 언제나 양수입니다(두 축이 일치하면 0이 됩니다). 무게중심은 관성 모멘트가 최소가 되는 유일한 축 위치이며, 그래서 \(\text{I}_{cm}\)이 기준값이 됩니다. 이 정리는 어떤 강체든, 서로 평행한 어떤 두 축에 대해서든 성립합니다.
예제 풀이
질량 10 kg인 균일한 막대가 무게중심에 대해 \(0.5\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\)의 관성 모멘트를 가진다고 합시다. 무게중심에서 2 m 떨어진 축에 대한 관성 모멘트를 구하려면, 이동항 $$\text{m}\cdot\text{d}^2 = 10 \times 2^2 = 40\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$$입니다. 따라서 전체 $$I = 0.5 + 40 = 40.5\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$$가 됩니다.
자주 묻는 질문
축이 반드시 평행해야 하나요? 네. 이 정리는 새로운 축이 무게중심 축과 평행할 때만 적용됩니다. 평행하지 않은 축의 경우에는 완전한 관성 텐서가 필요합니다.
어떤 단위를 사용해야 하나요? SI 단위로 일관되게 사용하세요. 질량은 kg, 거리는 m, 관성 모멘트는 \(\text{kg}\cdot\text{m}^2\)입니다. 그러면 결과도 \(\text{kg}\cdot\text{m}^2\) 단위로 나옵니다.
d가 0이 될 수 있나요? 네. \(\text{d} = 0\)이면 새 축이 무게중심 축과 일치하므로, \(I\)는 그대로 \(\text{I}_{cm}\)과 같아집니다.
