Qu'est-ce que le théorème des axes parallèles ?
Le théorème des axes parallèles (également appelé théorème de Huygens-Steiner) permet de déterminer le moment d'inertie d'un solide rigide par rapport à n'importe quel axe, dès lors que l'on connaît son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par le centre de masse. Il s'écrit $$I = \text{I}_{cm} + \text{m} \cdot \text{d}^{2}$$ où \(\text{I}_{cm}\) désigne l'inertie autour de l'axe passant par le centre de masse, \(m\) la masse totale et \(d\) la distance perpendiculaire séparant les deux axes parallèles.
Comment utiliser ce calculateur
Renseignez trois grandeurs : le moment d'inertie par rapport au centre de masse (\(\text{I}_{cm}\)) en kg·m², la masse de l'objet (\(m\)) en kilogrammes et la distance (\(d\)) en mètres entre l'axe du centre de masse et le nouvel axe de rotation. Le calculateur multiplie \(m\) par \(d^2\) pour obtenir le terme de translation, puis lui ajoute \(\text{I}_{cm}\) afin de fournir le moment d'inertie total par rapport au nouvel axe.
La formule expliquée
Comme éloigner l'axe de rotation du centre de masse augmente toujours le moment d'inertie, le terme \(\text{m} \cdot \text{d}^{2}\) est toujours positif (ou nul lorsque les deux axes sont confondus). Le centre de masse correspond à la position d'axe unique qui minimise le moment d'inertie : c'est pourquoi \(\text{I}_{cm}\) sert de valeur de référence. Le théorème s'applique à tout solide rigide et à toute paire d'axes parallèles.
Exemple résolu
Une tige homogène de 10 kg présente un moment d'inertie de 0,5 kg·m² par rapport à son centre de masse. Pour calculer son inertie autour d'un axe situé à 2 m : translation $$\text{m} \cdot \text{d}^{2} = 10 \times 2^{2} = 40 \ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.$$ Inertie totale $$I = 0{,}5 + 40 = 40{,}5 \ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}.$$
Foire aux questions
L'axe doit-il obligatoirement être parallèle ? Oui. Le théorème ne s'applique que si le nouvel axe est parallèle à celui passant par le centre de masse. Pour des axes non parallèles, il faut recourir au tenseur d'inertie complet.
Quelles unités utiliser ? Employez des unités SI cohérentes : la masse en kg, la distance en m et l'inertie en kg·m². Le résultat sera alors exprimé en kg·m².
La distance d peut-elle être nulle ? Oui. Si \(d = 0\), le nouvel axe coïncide avec l'axe du centre de masse et \(I\) est tout simplement égal à \(\text{I}_{cm}\).
