Калькулятор теоремы Штейнера (теоремы о параллельных осях)

Введите расчет

Момент инерции относительно центра масс (I_cm, кг·м²)

Масса (m, кг)

Расстояние между осями (d, м)

Результатов

Момент инерции относительно новой оси

40,5

кг·м²

Момент инерции относительно центра масс (I_cm)	0,5 kg·m²
Добавка за смещение оси (m·d²)	40 kg·m²

Что такое теорема Штейнера?

Теорема Штейнера (её также называют теоремой Гюйгенса–Штейнера или теоремой о параллельных осях) позволяет найти момент инерции твёрдого тела относительно любой оси, если известен момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела. Формулируется она так: \(I = I_{cm} + m \cdot d^{2}\), где \(I_{cm}\) — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, \(m\) — полная масса тела, а \(d\) — перпендикулярное расстояние между двумя параллельными осями.

Теорема о параллельных осях связывает момент инерции относительно оси через центр масс с моментом относительно параллельной оси на расстоянии d.

Как пользоваться калькулятором

Введите три величины: момент инерции относительно центра масс (\(I_{cm}\)) в кг·м², массу тела (\(m\)) в килограммах и расстояние (\(d\)) в метрах между осью, проходящей через центр масс, и новой осью вращения. Калькулятор умножает \(m\) на \(d^{2}\), получая добавочный член, и прибавляет к нему \(I_{cm}\) — так выходит полный момент инерции относительно новой оси.

Разбор формулы

Смещение оси вращения в сторону от центра масс всегда увеличивает момент инерции, поэтому слагаемое \(m \cdot d^{2}\) всегда положительно (или равно нулю, когда оси совпадают). Ось, проходящая через центр масс, — единственное положение, при котором момент инерции минимален, именно поэтому \(I_{cm}\) служит отправной точкой. Теорема справедлива для любого твёрдого тела и любой пары параллельных осей.

Реклама

Полный момент инерции равен центральному моменту инерции плюс произведение массы на квадрат расстояния.

Пример расчёта

Однородный стержень массой 10 кг имеет момент инерции 0,5 кг·м² относительно своего центра масс. Чтобы найти момент инерции относительно оси, удалённой на 2 м: добавка \(= m \cdot d^{2} = 10 \times 2^{2} = 40\) кг·м². Итого $$I = 0{,}5 + 40 = 40{,}5 \ \text{кг}\cdot\text{м}^{2}.$$

Частые вопросы

Обязательно ли ось должна быть параллельной? Да. Теорема работает только тогда, когда новая ось параллельна оси, проходящей через центр масс. Для непараллельных осей понадобится полный тензор инерции.

Какие единицы измерения использовать? Применяйте единицы СИ согласованно: массу — в кг, расстояние — в м, момент инерции — в кг·м². Тогда результат тоже получится в кг·м².

Может ли d быть равным нулю? Да. Если \(d = 0\), новая ось совпадает с осью центра масс, и тогда \(I\) попросту равно \(I_{cm}\).