細桿質心計算器的用途
本計算器用於求一根長度為 L 的細直桿的質心，從桿在 x = 0 處的一端量起。它支援兩種情形。對於均勻桿（密度固定），質心恰好位於中點 L/2 處。對於密度線性變化的桿，其密度由 λ(x) = λ₀ + kx 描述，計算器會對密度分布進行積分，精確定位平衡點，同時給出桿的總質量、遠端處的密度，以及質心沿桿所在的位置（以 L 的分數與百分比表示）。
使用方法
- 選擇桿的類型：均勻密度或密度線性變化。
- 輸入桿長 L。標籤使用公尺，但任何長度單位皆適用——結果會以你輸入的相同單位給出。
- 對於密度線性變化的桿，輸入 λ₀（x = 0 端處的線密度，單位 kg/m）與 k（密度梯度，單位 kg/m²）。若桿沿長度方向變輕，則 k 取負值；密度在整根桿上必須保持非負。
- 點擊「計算」。主要結果是從 x = 0 端量起的質心位置 x̄，對於非均勻桿還會一併給出總質量與位置明細。
公式解析
對於沿 x 軸從 0 延伸到 L、線質量密度為 λ(x) 的任意細桿，質心即為按質量加權的平均位置：
$$\bar{x} = \frac{\int_0^L x\,\lambda(x)\,dx}{\int_0^L \lambda(x)\,dx}$$均勻桿。當 λ 固定時，它在比值中被約去，剩下大家熟悉的中點結果：
$$\bar{x} = \frac{L}{2}$$密度線性變化。取 λ(x) = λ₀ + kx，分母（總質量 M）與分子（質量對 x = 0 的一階矩）都可積成閉合形式：
$$M = \int_0^L (\lambda_0 + kx)\,dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$$ $$\int_0^L x\,(\lambda_0 + kx)\,dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3}$$以一階矩除以質量即得質心：
$$\bar{x} = \frac{\dfrac{\lambda_0 L^2}{2} + \dfrac{kL^3}{3} }{\lambda_0 L + \dfrac{kL^2}{2} } = \frac{L\,(3\lambda_0 + 2kL)}{3\,(2\lambda_0 + kL)}$$當 k > 0 時，桿在靠近 x = L 一側較重，因此 x̄ 落在中點之後；當 k < 0 時，則向 x = 0 偏移。令 k = 0，此表達式如預期般退回 L/2。
範例演算
取一根長度 L = 2 m 的桿，其密度從一端的 λ₀ = 2 kg/m 起、以梯度 k = 3 kg/m² 增長，於是 λ(x) = 2 + 3x，遠端密度為 2 + 3·2 = 8 kg/m。
總質量：M = λ₀L + kL²/2 = 2·2 + 3·(2)²/2 = 4 + 6 = 10 kg。
一階矩：λ₀L²/2 + kL³/3 = 2·(2)²/2 + 3·(2)³/3 = 4 + 8 = 12 kg·m。
質心：x̄ = 12 / 10 = 距輕端 1.2 m——即位於桿全長的 60% 處，越過 1 m 處的中點，這與一根遠端最重的桿完全符合預期。
常見問題
為什麼均勻桿的質心位於 L/2？這是由對稱性決定的：中點一側距離 d 處的每個微小質量元，都與另一側距離 d 處一個完全相同的質量元相對應，因此它們對加權平均的貢獻互相抵消，平衡點恰好落在正中央。
密度梯度 k 可以為負嗎？可以。負的 k 描述的是一根從 x = 0 到 x = L 逐漸變輕的桿，這會把質心拉向 x = 0 一端。唯一的限制來自物理條件：λ(x) = λ₀ + kx 在整根桿上必須保持非負，因此要求 λ₀ + kL ≥ 0。
這裡的「細桿」是什麼意思？它是標準的一維理想化模型：桿的橫截面相對於其長度很小且沿桿均勻，因此可以把全部質量視為分布在一條線上。如此，結果給出的就是質心沿桿軸線的位置。
