Что делает калькулятор центра масс тонкого стержня
Этот калькулятор находит центр масс прямого тонкого стержня длиной L, отсчитывая его от конца стержня при x = 0. Он охватывает два случая. Для однородного стержня (постоянная плотность) центр масс лежит точно в середине, L/2. Для стержня с линейно меняющейся плотностью, заданной как λ(x) = λ₀ + kx, калькулятор интегрирует распределение плотности, чтобы найти точную точку равновесия, а также сообщает полную массу стержня, плотность на дальнем конце и то, как далеко вдоль стержня (в виде доли и процента от L) находится центр масс.
Как пользоваться
- Выберите тип стержня: однородная плотность или линейно меняющаяся плотность.
- Введите длину стержня L. В подписях используются метры, но подойдёт любая единица длины — ответ получится в той же единице, что вы вводите.
- Для стержня с меняющейся плотностью введите λ₀ — линейную плотность на конце x = 0 (в kg/m), и k — градиент плотности (в kg/m²). Используйте отрицательное k для стержня, который становится легче вдоль своей длины; плотность должна оставаться неотрицательной по всей длине стержня.
- Нажмите «Рассчитать». Основной результат — положение центра масс x̄, отсчитанное от конца x = 0, вместе с полной массой и разбивкой положения для неоднородных стержней.
Разбор формулы
Для любого тонкого стержня, лежащего вдоль оси x от 0 до L с линейной плотностью массы λ(x), центр масс — это средневзвешенное по массе положение:
$$\bar{x} = \frac{\int_0^L x\,\lambda(x)\,dx}{\int_0^L \lambda(x)\,dx}$$Однородный стержень. Когда λ постоянна, она сокращается в отношении, оставляя знакомый результат для середины:
$$\bar{x} = \frac{L}{2}$$Линейно меняющаяся плотность. При λ(x) = λ₀ + kx и знаменатель (полная масса M), и числитель (первый момент массы относительно x = 0) интегрируются в замкнутом виде:
$$M = \int_0^L (\lambda_0 + kx)\,dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$$ $$\int_0^L x\,(\lambda_0 + kx)\,dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3}$$Разделив первый момент на массу, получаем центр масс:
$$\bar{x} = \frac{\dfrac{\lambda_0 L^2}{2} + \dfrac{kL^3}{3} }{\lambda_0 L + \dfrac{kL^2}{2} } = \frac{L\,(3\lambda_0 + 2kL)}{3\,(2\lambda_0 + kL)}$$При k > 0 стержень тяжелее в сторону x = L, поэтому x̄ оказывается за серединой; при k < 0 он смещается к x = 0. При k = 0 выражение снова сводится к L/2, как и должно быть.
Разобранный пример
Возьмём стержень длиной L = 2 m, плотность которого растёт от λ₀ = 2 kg/m на одном конце с градиентом k = 3 kg/m², так что λ(x) = 2 + 3x, а дальний конец имеет плотность 2 + 3·2 = 8 kg/m.
Полная масса: M = λ₀L + kL²/2 = 2·2 + 3·(2)²/2 = 4 + 6 = 10 kg.
Первый момент: λ₀L²/2 + kL³/3 = 2·(2)²/2 + 3·(2)³/3 = 4 + 8 = 12 kg·m.
Центр масс: x̄ = 12 / 10 = 1.2 m от лёгкого конца — то есть на 60% длины стержня, за серединой в 1 m, ровно так, как и ожидается для стержня, самого тяжёлого на дальнем конце.
Часто задаваемые вопросы
Почему центр масс однородного стержня находится в L/2? В силу симметрии: каждому малому элементу массы на расстоянии d по одну сторону от середины соответствует такой же элемент на расстоянии d по другую сторону, поэтому их вклады во взвешенное среднее взаимно уничтожаются, и точка равновесия оказывается ровно посередине.
Может ли градиент плотности k быть отрицательным? Да. Отрицательное k описывает стержень, который становится легче от x = 0 к x = L, что смещает центр масс к концу x = 0. Единственное ограничение — физическое: λ(x) = λ₀ + kx должна оставаться неотрицательной по всему стержню, поэтому требуется λ₀ + kL ≥ 0.
Что здесь означает «тонкий стержень»? Это стандартная одномерная идеализация: поперечное сечение стержня мало по сравнению с его длиной и одинаково вдоль неё, так что всю массу можно считать распределённой вдоль линии. Тогда результат даёт положение центра масс вдоль оси стержня.
