Máy Tính Khối Tâm Của Thanh Mảnh làm gì
Công cụ này tìm khối tâm của một thanh thẳng, mảnh có chiều dài L, tính từ đầu thanh tại x = 0. Nó xử lý hai trường hợp. Với thanh đồng nhất (mật độ không đổi), khối tâm nằm đúng tại trung điểm, L/2. Với thanh có mật độ biến thiên tuyến tính, mô tả bởi λ(x) = λ₀ + kx, máy tính lấy tích phân của phân bố mật độ để xác định điểm cân bằng chính xác, đồng thời cho biết khối lượng tổng của thanh, mật độ ở đầu xa, và khối tâm nằm cách bao xa dọc theo thanh (dưới dạng phân số và phần trăm của L).
Cách sử dụng
- Chọn loại thanh: mật độ đồng nhất hoặc mật độ biến thiên tuyến tính.
- Nhập chiều dài thanh L. Nhãn dùng đơn vị mét, nhưng bạn có thể dùng bất kỳ đơn vị chiều dài nào — kết quả sẽ trả về theo đúng đơn vị bạn nhập.
- Với thanh có mật độ biến thiên, nhập λ₀ là mật độ dài tại đầu x = 0 (đơn vị kg/m), và k là gradient mật độ (đơn vị kg/m²). Dùng k âm cho thanh nhẹ dần dọc theo chiều dài; mật độ phải luôn không âm trên toàn bộ thanh.
- Nhấn Tính. Kết quả chính là vị trí khối tâm x̄ tính từ đầu x = 0, cùng với khối lượng tổng và phần chi tiết vị trí đối với thanh không đồng nhất.
Giải thích công thức
Với bất kỳ thanh mảnh nào nằm trên trục x từ 0 đến L với mật độ khối lượng dài λ(x), khối tâm là vị trí trung bình có trọng số theo khối lượng:
$$\bar{x} = \frac{\int_0^L x\,\lambda(x)\,dx}{\int_0^L \lambda(x)\,dx}$$Thanh đồng nhất. Khi λ không đổi, nó bị triệt tiêu trong tỉ số, để lại kết quả trung điểm quen thuộc:
$$\bar{x} = \frac{L}{2}$$Mật độ biến thiên tuyến tính. Với λ(x) = λ₀ + kx, cả mẫu số (khối lượng tổng M) lẫn tử số (mômen bậc nhất của khối lượng quanh x = 0) đều lấy tích phân được dưới dạng đóng:
$$M = \int_0^L (\lambda_0 + kx)\,dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$$ $$\int_0^L x\,(\lambda_0 + kx)\,dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3}$$Chia mômen bậc nhất cho khối lượng ta được khối tâm:
$$\bar{x} = \frac{\dfrac{\lambda_0 L^2}{2} + \dfrac{kL^3}{3} }{\lambda_0 L + \dfrac{kL^2}{2} } = \frac{L\,(3\lambda_0 + 2kL)}{3\,(2\lambda_0 + kL)}$$Khi k > 0 thanh nặng hơn về phía x = L, nên x̄ nằm quá trung điểm; khi k < 0 nó dịch về phía x = 0. Đặt k = 0 thì biểu thức thu gọn về L/2, đúng như phải vậy.
Ví dụ minh họa
Lấy một thanh dài L = 2 m có mật độ tăng từ λ₀ = 2 kg/m ở một đầu với gradient k = 3 kg/m², nên λ(x) = 2 + 3x và đầu xa có mật độ 2 + 3·2 = 8 kg/m.
Khối lượng tổng: M = λ₀L + kL²/2 = 2·2 + 3·(2)²/2 = 4 + 6 = 10 kg.
Mômen bậc nhất: λ₀L²/2 + kL³/3 = 2·(2)²/2 + 3·(2)³/3 = 4 + 8 = 12 kg·m.
Khối tâm: x̄ = 12 / 10 = 1.2 m tính từ đầu nhẹ — tức là 60% chiều dài thanh, vượt qua trung điểm ở 1 m, đúng như mong đợi đối với một thanh nặng nhất ở đầu xa.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao khối tâm của thanh đồng nhất lại ở L/2? Do tính đối xứng: mỗi phần tử khối lượng nhỏ ở khoảng cách d về một phía của trung điểm luôn có một phần tử giống hệt ở khoảng cách d về phía kia, nên đóng góp của chúng vào trung bình có trọng số triệt tiêu nhau và điểm cân bằng rơi đúng vào giữa.
Gradient mật độ k có thể âm không? Có. k âm mô tả một thanh nhẹ dần từ x = 0 về phía x = L, kéo khối tâm về đầu x = 0. Ràng buộc duy nhất mang tính vật lý: λ(x) = λ₀ + kx phải luôn không âm trên toàn thanh, nên cần λ₀ + kL ≥ 0.
"Thanh mảnh" ở đây nghĩa là gì? Đó là sự lý tưởng hóa một chiều tiêu chuẩn: tiết diện ngang của thanh nhỏ so với chiều dài và đều dọc theo thanh, nên toàn bộ khối lượng có thể coi như phân bố dọc theo một đường thẳng. Khi đó kết quả cho vị trí khối tâm dọc theo trục của thanh.
