ماذا تفعل حاسبة مركز كتلة القضيب الرفيع
تحسب هذه الأداة مركز كتلة قضيب رفيع ومستقيم طوله L، مقيسًا من طرف القضيب عند x = 0. وهي تدعم حالتين. في حالة القضيب المنتظم (كثافة ثابتة)، يقع مركز الكتلة تمامًا عند نقطة المنتصف، أي L/2. أما في حالة القضيب ذي الكثافة المتغيرة خطيًا، الموصوفة بالعلاقة λ(x) = λ₀ + kx، فتقوم الحاسبة بمكاملة توزيع الكثافة لتحديد نقطة التوازن بدقة، كما تُبلغ عن الكتلة الكلية للقضيب، والكثافة عند الطرف البعيد، ومدى بُعد مركز الكتلة على امتداد القضيب (ككسر ونسبة مئوية من L).
كيفية الاستخدام
- اختر نوع القضيب: كثافة منتظمة أو كثافة متغيرة خطيًا.
- أدخل طول القضيب L. تستخدم التسميات المتر، لكن أي وحدة طول تعمل — تظهر النتيجة بالوحدة نفسها التي أدخلتها.
- بالنسبة للقضيب المتغير خطيًا، أدخل λ₀، وهي الكثافة الخطية عند الطرف x = 0 (بوحدة kg/m)، وأدخل k، وهو تدرّج الكثافة (بوحدة kg/m²). استخدم قيمة سالبة لـ k لقضيب يصبح أخف على امتداد طوله؛ ويجب أن تظل الكثافة غير سالبة على طول القضيب بأكمله.
- اضغط على "احسب". النتيجة الرئيسية هي موضع مركز الكتلة x̄ مقيسًا من الطرف x = 0، إلى جانب الكتلة الكلية وتفصيل الموضع للقضبان غير المنتظمة.
شرح المعادلة
بالنسبة لأي قضيب رفيع ممتد على المحور x من 0 إلى L بكثافة كتلية خطية λ(x)، فإن مركز الكتلة هو الموضع المتوسط المرجّح بالكتلة:
$$\bar{x} = \frac{\int_0^L x\,\lambda(x)\,dx}{\int_0^L \lambda(x)\,dx}$$القضيب المنتظم. عندما تكون λ ثابتة تُختصر من النسبة، فيبقى ناتج نقطة المنتصف المألوف:
$$\bar{x} = \frac{L}{2}$$الكثافة المتغيرة خطيًا. مع λ(x) = λ₀ + kx، يُكامَل كل من المقام (الكتلة الكلية M) والبسط (العزم الأول للكتلة حول x = 0) في صورة مغلقة:
$$M = \int_0^L (\lambda_0 + kx)\,dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$$ $$\int_0^L x\,(\lambda_0 + kx)\,dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3}$$قسمة العزم الأول على الكتلة تعطي مركز الكتلة:
$$\bar{x} = \frac{\dfrac{\lambda_0 L^2}{2} + \dfrac{kL^3}{3} }{\lambda_0 L + \dfrac{kL^2}{2} } = \frac{L\,(3\lambda_0 + 2kL)}{3\,(2\lambda_0 + kL)}$$عندما يكون k > 0 يكون القضيب أثقل باتجاه x = L، لذا يقع x̄ بعد نقطة المنتصف؛ وعندما يكون k < 0 ينزاح باتجاه x = 0. وبوضع k = 0 يعود المقدار إلى L/2، كما يجب أن يكون.
مثال محلول
خذ قضيبًا طوله L = 2 m تزداد كثافته من λ₀ = 2 kg/m عند أحد طرفيه بتدرّج k = 3 kg/m²، بحيث تكون λ(x) = 2 + 3x وتبلغ الكثافة عند الطرف البعيد 2 + 3·2 = 8 kg/m.
الكتلة الكلية: M = λ₀L + kL²/2 = 2·2 + 3·(2)²/2 = 4 + 6 = 10 kg.
العزم الأول: λ₀L²/2 + kL³/3 = 2·(2)²/2 + 3·(2)³/3 = 4 + 8 = 12 kg·m.
مركز الكتلة: x̄ = 12 / 10 = 1.2 m من الطرف الأخف — أي عند 60% من طول القضيب، بعد نقطة المنتصف عند 1 m، تمامًا كما هو متوقع لقضيب يكون أثقل ما يكون عند طرفه البعيد.
الأسئلة الشائعة
لماذا يقع مركز كتلة القضيب المنتظم عند L/2؟ بسبب التناظر: كل عنصر كتلة صغير يبعد مسافة d على أحد جانبي نقطة المنتصف يقابله عنصر مطابق يبعد المسافة نفسها d على الجانب الآخر، فتلغي مساهماتهما في المتوسط المرجّح بعضها بعضًا ويقع مركز التوازن تمامًا في المنتصف.
هل يمكن أن يكون تدرّج الكثافة k سالبًا؟ نعم. القيمة السالبة لـ k تصف قضيبًا يصبح أخف من x = 0 نحو x = L، وهو ما يسحب مركز الكتلة نحو الطرف x = 0. القيد الوحيد فيزيائي: يجب أن تظل λ(x) = λ₀ + kx غير سالبة على طول القضيب بأكمله، أي يُشترط أن يكون λ₀ + kL ≥ 0.
ماذا يعني "القضيب الرفيع" هنا؟ إنه التبسيط المثالي المعتاد ذو البُعد الواحد: مقطع القضيب العرضي صغير مقارنةً بطوله ومنتظم على امتداده، بحيث يمكن اعتبار كامل الكتلة موزعة على طول خط. عندئذٍ تعطي النتيجة موضع مركز الكتلة على امتداد محور القضيب.
