İnce Çubuk Kütle Merkezi Hesaplayıcı ne işe yarar
Bu hesaplayıcı, x = 0 noktasındaki ucundan ölçülerek, L uzunluğundaki ince, düz bir çubuğun kütle merkezini bulur. İki durumu destekler. Düzgün çubuk (sabit yoğunluk) için kütle merkezi tam olarak orta noktada, L/2 konumunda yer alır. λ(x) = λ₀ + kx ile tanımlanan doğrusal değişen yoğunluklu bir çubuk için hesaplayıcı, yoğunluk dağılımını integralleyerek gerçek denge noktasını bulur; ayrıca çubuğun toplam kütlesini, uzak uçtaki yoğunluğu ve kütle merkezinin çubuk boyunca (L'nin kesri ve yüzdesi olarak) ne kadar ilerde olduğunu da bildirir.
Nasıl kullanılır
- Çubuk türünü seçin: Düzgün yoğunluk veya Doğrusal değişen yoğunluk.
- Çubuk uzunluğu L'yi girin. Etiketlerde metre kullanılır, ancak herhangi bir uzunluk birimi işe yarar — sonuç, girdiğiniz birimle aynı birimde çıkar.
- Doğrusal değişen bir çubuk için, x = 0 ucundaki lineer yoğunluk λ₀'ı (kg/m cinsinden) ve yoğunluk gradyanı k'yi (kg/m² cinsinden) girin. Uzunluğu boyunca hafifleyen bir çubuk için negatif bir k kullanın; yoğunluk, çubuğun tamamında negatif olmamalıdır.
- Hesapla'ya basın. Ana sonuç, x = 0 ucundan ölçülen kütle merkezi konumu x̄'dir; düzgün olmayan çubuklar için toplam kütle ve konum ayrıntısıyla birlikte verilir.
Formülün açıklaması
x ekseni boyunca 0'dan L'ye uzanan, λ(x) lineer kütle yoğunluğuna sahip herhangi bir ince çubuk için kütle merkezi, kütleyle ağırlıklandırılmış ortalama konumdur:
$$\bar{x} = \frac{\int_0^L x\,\lambda(x)\,dx}{\int_0^L \lambda(x)\,dx}$$Düzgün çubuk. λ sabit olduğunda orandan sadeleşir ve bilinen orta nokta sonucu kalır:
$$\bar{x} = \frac{L}{2}$$Doğrusal değişen yoğunluk. λ(x) = λ₀ + kx ile hem payda (toplam kütle M) hem de pay (x = 0 etrafındaki kütlenin birinci momenti) kapalı formda integrallenir:
$$M = \int_0^L (\lambda_0 + kx)\,dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$$ $$\int_0^L x\,(\lambda_0 + kx)\,dx = \frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3}$$Birinci momenti kütleye bölmek kütle merkezini verir:
$$\bar{x} = \frac{\dfrac{\lambda_0 L^2}{2} + \dfrac{kL^3}{3} }{\lambda_0 L + \dfrac{kL^2}{2} } = \frac{L\,(3\lambda_0 + 2kL)}{3\,(2\lambda_0 + kL)}$$k > 0 olduğunda çubuk x = L'ye doğru daha ağırdır, dolayısıyla x̄ orta noktanın ötesine düşer; k < 0 olduğunda ise x = 0'a doğru kayar. k = 0 alındığında ifade, olması gerektiği gibi L/2'ye geri döner.
Çözümlü örnek
L = 2 m uzunluğunda, bir ucunda λ₀ = 2 kg/m olan ve k = 3 kg/m² gradyanıyla artan yoğunluğa sahip bir çubuk alın; böylece λ(x) = 2 + 3x olur ve uzak uçtaki yoğunluk 2 + 3·2 = 8 kg/m'dir.
Toplam kütle: M = λ₀L + kL²/2 = 2·2 + 3·(2)²/2 = 4 + 6 = 10 kg.
Birinci moment: λ₀L²/2 + kL³/3 = 2·(2)²/2 + 3·(2)³/3 = 4 + 8 = 12 kg·m.
Kütle merkezi: x̄ = 12 / 10 = hafif uçtan 1.2 m — yani çubuğun 60% kadar ilerisinde, 1 m'deki orta noktanın ötesinde; uzak ucunda en ağır olan bir çubuk için tam da beklenildiği gibi.
Sıkça sorulan sorular
Düzgün bir çubuğun kütle merkezi neden L/2'dedir? Simetri nedeniyle: orta noktanın bir tarafında d uzaklığındaki her küçük kütle öğesi, diğer tarafta d uzaklığındaki özdeş bir öğeyle eşleşir; böylece ağırlıklı ortalamaya katkıları birbirini götürür ve denge noktası tam ortaya düşer.
Yoğunluk gradyanı k negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir k, x = 0'dan x = L'ye doğru hafifleyen bir çubuğu tanımlar ve bu, kütle merkezini x = 0 ucuna doğru çeker. Tek kısıtlama fizikseldir: λ(x) = λ₀ + kx çubuğun tamamında negatif olmamalıdır, dolayısıyla λ₀ + kL ≥ 0 gereklidir.
Buradaki "ince çubuk" ne anlama gelir? Bu, standart tek boyutlu idealleştirmedir: çubuğun kesiti, uzunluğuna kıyasla küçüktür ve boyunca düzgündür; böylece tüm kütle bir çizgi boyunca dağılmış gibi ele alınabilir. Sonuç, kütle merkezinin çubuğun ekseni boyunca konumunu verir.
