Qu'est-ce que le calculateur du modèle de Bohr ?
Le modèle de Bohr, proposé par Niels Bohr en 1913, décrit un atome hydrogénoïde comme un petit noyau chargé positivement autour duquel un électron décrit des orbites circulaires fixes et quantifiées. Ce calculateur détermine le rayon de l'orbite d'un électron ainsi que son niveau d'énergie pour tout atome ou ion hydrogénoïde (à un seul électron). Il s'applique aussi bien à l'hydrogène (\(Z = 1\)) qu'à des ions comme He⁺ (\(Z = 2\)) ou Li²⁺ (\(Z = 3\)).
Comment l'utiliser
Saisissez deux entiers : le nombre quantique principal \(n\) (1, 2, 3, …), qui identifie l'orbite, et le numéro atomique \(Z\) (le nombre de protons dans le noyau). Le calculateur renvoie le rayon de l'orbite en nanomètres et en picomètres, l'énergie de ce niveau en électronvolts (eV), ainsi que la vitesse orbitale de l'électron.
Les formules expliquées
Le rayon de l'orbite vaut $$r_n = \frac{\text{n}^{2} \cdot a_0}{\text{Z}} \qquad (a_0 = 0{,}05292\ \text{nm})$$ où \(a_0 \approx 0{,}0529\ \text{nm}\) est le rayon de Bohr — le rayon de l'état fondamental de l'hydrogène. Les orbites grandissent comme le carré de \(n\) et se contractent à mesure que la charge nucléaire \(Z\) augmente. Le niveau d'énergie s'écrit $$E_n = -13{,}6\,\text{eV} \cdot \frac{\text{Z}^{2}}{\text{n}^{2}}$$ Les énergies sont négatives parce que l'électron est lié ; la valeur \(13{,}6\ \text{eV}\) correspond à l'énergie d'ionisation de l'hydrogène dans son état fondamental.
Exemple résolu
Pour l'hydrogène (\(Z = 1\)) sur la deuxième orbite (\(n = 2\)) : $$r_2 = \frac{2^{2} \times 0{,}0529}{1} = 0{,}2117\ \text{nm}$$ et $$E_2 = \frac{-13{,}6 \times 1}{4} = -3{,}4\ \text{eV}$$ L'électron est plus éloigné et moins fortement lié que dans l'état fondamental (\(-13{,}6\ \text{eV}\)).
Constantes et valeurs de référence
Le modèle de Bohr utilise un petit ensemble de constantes fondamentales. Le rayon orbital s'échelle selon le rayon de Bohr \(a_0\), tandis que les niveaux d'énergie s'échellent selon l'énergie de Rydberg. Les valeurs ci-dessous sont les chiffres recommandés modernes de CODATA.
| Grandeur | Symbole | Valeur (SI) |
|---|---|---|
| Rayon de Bohr | \(a_0\) | 0.05292 nm = 52.92 pm = 5.292 × 10⁻¹¹ m |
| Énergie de Rydberg (état fondamental) | \(E_1\) (H) | 13.606 eV = 2.180 × 10⁻¹⁸ J |
| Masse au repos de l'électron | \(m_e\) | 9.109 × 10⁻³¹ kg |
| Charge élémentaire | \(e\) | 1.602 × 10⁻¹⁹ C |
| Constante de Coulomb | \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) | 8.988 × 10⁹ N·m²·C⁻² |
| Constante de Planck réduite | \(\hbar\) | 1.055 × 10⁻³⁴ J·s |
| Vitesse orbitale de l'état fondamental (H) | \(v_1\) | 2.188 × 10⁶ m/s |
| Constante de structure fine | \(\alpha = v_1/c\) | 7.297 × 10⁻³ ≈ 1/137 (sans dimension) |
La vitesse orbitale à l'état fondamental de l'hydrogène égale \(\alpha c\), où \(c\) est la vitesse de la lumière. C'est pourquoi \(\alpha\) est aussi appelée la constante de structure fine — elle fixe l'échelle du mouvement de l'électron par rapport à la lumière.
FAQ
Cela fonctionne-t-il pour les atomes à plusieurs électrons ? Le modèle de Bohr n'est exact que pour les systèmes à un seul électron (H, He⁺, Li²⁺, etc.). Pour les autres atomes, il ne fournit qu'une approximation.
Pourquoi l'énergie est-elle négative ? Un électron lié possède moins d'énergie qu'un électron libre au repos situé à une distance infinie (énergie définie comme nulle) ; les états liés sont donc négatifs.
Qu'est-ce que le rayon de Bohr ? \(a_0 \approx 0{,}0529\ \text{nm}\) (52,9 pm) est la distance la plus probable entre le proton et l'électron dans l'atome d'hydrogène à l'état fondamental.
