ما هي حاسبة نموذج بور؟
قدّم العالم نيلز بور نموذجه الشهير عام 1913، حيث وصف الذرة الشبيهة بالهيدروجين على أنها نواة صغيرة موجبة الشحنة يدور حولها إلكترون في مدارات دائرية ثابتة ومُكمّمة. تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد نصف قطر مدار الإلكترون ومستوى طاقته لأي ذرة أو أيون شبيه بالهيدروجين (أي ذو إلكترون واحد). وهي تصلح للهيدروجين (Z = 1) كما تصلح للأيونات مثل ⁺He (حيث Z = 2) و²⁺Li (حيث Z = 3).
طريقة الاستخدام
أدخِل عددين صحيحين: عدد الكم الرئيسي n (1، 2، 3، …) الذي يُحدّد المدار، والعدد الذري Z (أي عدد البروتونات في النواة). تُعيد لك الحاسبة نصف قطر المدار بالنانومتر والبيكومتر، وطاقة هذا المستوى مقدّرة بوحدة الإلكترون فولت (eV)، إضافةً إلى السرعة المدارية للإلكترون.
شرح المعادلات
يُحسب نصف قطر المدار من العلاقة $$r_n = \frac{\text{n}^{2} \cdot a_0}{\text{Z}} \qquad (a_0 = 0.05292\ \text{nm})$$ حيث \(a_0 \approx 0.0529\) نانومتر هو نصف قطر بور، أي نصف قطر الحالة الأرضية للهيدروجين. تتسع المدارات بمربع العدد n، وتتقلّص كلما زادت شحنة النواة Z. أما مستوى الطاقة فيُحسب من العلاقة $$E_n = -13.6\,\text{eV} \cdot \frac{\text{Z}^{2}}{\text{n}^{2}}$$ وتأتي قيم الطاقة سالبةً لأن الإلكترون مُقيّد داخل الذرة، علمًا أن القيمة \(13.6\) eV تمثّل طاقة تأيّن الحالة الأرضية للهيدروجين.
مثال محلول
لنأخذ ذرة الهيدروجين (Z = 1) في المدار الثاني (n = 2): يكون $$r_2 = \frac{2^{2} \times 0.0529}{1} = 0.2117\ \text{nm}$$ بينما $$E_2 = \frac{-13.6 \times 1}{4} = -3.4\ \text{eV}$$ نلاحظ أن الإلكترون هنا أبعد عن النواة وأقل ارتباطًا بها مقارنةً بالحالة الأرضية (\(-13.6\) eV).
الثوابت والقيم المرجعية
يستخدم نموذج بوهر مجموعة صغيرة من الثوابت الأساسية. يتناسب نصف قطر المدار مع نصف قطر بوهر \(a_0\)، بينما تتناسب مستويات الطاقة مع طاقة ريدبرغ. القيم أدناه هي الأرقام الموصى بها من CODATA الحديثة.
| الكمية | الرمز | القيمة (النظام الدولي) |
|---|---|---|
| نصف قطر بوهر | \(a_0\) | 0.05292 nm = 52.92 pm = 5.292 × 10⁻¹¹ m |
| طاقة ريدبرغ (الحالة الأساسية) | \(E_1\) (H) | 13.606 eV = 2.180 × 10⁻¹⁸ J |
| كتلة الإلكترون الساكنة | \(m_e\) | 9.109 × 10⁻³¹ kg |
| الشحنة الأولية | \(e\) | 1.602 × 10⁻¹⁹ C |
| ثابت كولوم | \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) | 8.988 × 10⁹ N·m²·C⁻² |
| ثابت بلانك المختزل | \(\hbar\) | 1.055 × 10⁻³⁴ J·s |
| سرعة المدار للحالة الأساسية (H) | \(v_1\) | 2.188 × 10⁶ m/s |
| ثابت البنية الدقيقة | \(\alpha = v_1/c\) | 7.297 × 10⁻³ ≈ 1/137 (لا بعدي) |
السرعة المدارية في الحالة الأساسية للهيدروجين تساوي \(\alpha c\)، حيث \(c\) هي سرعة الضوء. لهذا السبب يُطلق على \(\alpha\) أيضاً ثابت البنية الدقيقة — فهو يحدد مقياس حركة الإلكترون بالنسبة للضوء.
الأسئلة الشائعة
هل ينطبق هذا على الذرات متعددة الإلكترونات؟ نموذج بور دقيق تمامًا فقط في الأنظمة ذات الإلكترون الواحد (مثل H و⁺He و²⁺Li). أما الذرات الأخرى فيُعطي لها نتائج تقريبية.
لماذا تكون الطاقة سالبة؟ لأن طاقة الإلكترون المُقيّد أقل من طاقة إلكترون حر ساكن على بُعد لا نهائي (التي تُعرّف بأنها 0)، ولذلك تكون طاقات الحالات المقيّدة سالبة.
ما هو نصف قطر بور؟ هو \(a_0 \approx 0.0529\) نانومتر (52.9 بيكومتر)، ويمثّل المسافة الأكثر احتمالًا بين البروتون والإلكترون في الحالة الأرضية لذرة الهيدروجين.
