什么是玻尔模型计算器？
玻尔模型由尼尔斯·玻尔于 1913 年提出，它把类氢原子描绘成：一个带正电的微小原子核，外面有电子沿着固定、量子化的圆形轨道运行。本计算器可以算出任意类氢（单电子）原子或离子中，电子轨道的半径以及对应的能级。它既适用于氢原子（Z = 1），也适用于 He⁺（Z = 2）、Li²⁺（Z = 3）这类离子。
使用方法
输入两个整数即可：一是主量子数 \(n\)（1、2、3……），它标记电子所在的轨道；二是原子序数 \(Z\)（即原子核中的质子数）。计算器会返回以纳米和皮米表示的轨道半径、该能级的能量（以电子伏特 eV 为单位），以及电子的轨道速度。
公式详解
轨道半径为 $$r_n = \frac{\text{n}^{2} \cdot a_0}{\text{Z}} \qquad (a_0 = 0.05292\ \text{nm})$$ 其中 \(a_0 \approx 0.0529\ \text{nm}\) 即玻尔半径——氢原子基态的轨道半径。轨道半径随 \(n\) 的平方增大，并随核电荷 \(Z\) 的增加而缩小。能级为 $$E_n = -13.6\,\text{eV} \cdot \frac{\text{Z}^{2}}{\text{n}^{2}}$$ 能量取负值，是因为电子处于束缚态；其中的 13.6 eV 正是氢原子基态的电离能。
计算实例
以氢原子（Z = 1）的第二条轨道（n = 2）为例：$$r_2 = 2^2 \times 0.0529 / 1 = 0.2117\ \text{nm}$$ $$E_2 = -13.6 \times 1 / 4 = -3.4\ \text{eV}$$ 相比基态（\(-13.6\ \text{eV}\)），此时电子离核更远，受到的束缚也更弱。
常数与参考值
玻尔模型使用一小组基本常数。轨道半径按玻尔半径 \(a_0\) 缩放，而能级按里德伯能缩放。下面的值是现代 CODATA 推荐的数据。
| 物理量 | 符号 | 值（SI） |
|---|---|---|
| 玻尔半径 | \(a_0\) | 0.05292 nm = 52.92 pm = 5.292 × 10⁻¹¹ m |
| 里德伯能（基态） | \(E_1\) (H) | 13.606 eV = 2.180 × 10⁻¹⁸ J |
| 电子静止质量 | \(m_e\) | 9.109 × 10⁻³¹ kg |
| 基本电荷 | \(e\) | 1.602 × 10⁻¹⁹ C |
| 库仑常数 | \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) | 8.988 × 10⁹ N·m²·C⁻² |
| 约化普朗克常数 | \(\hbar\) | 1.055 × 10⁻³⁴ J·s |
| 基态轨道速度（H） | \(v_1\) | 2.188 × 10⁶ m/s |
| 精细结构常数 | \(\alpha = v_1/c\) | 7.297 × 10⁻³ ≈ 1/137 （无量纲） |
氢的基态轨道速度等于 \(\alpha c\)，其中 \(c\) 是光速。这就是为什么 \(\alpha\) 也被称为精细结构常数——它设定了电子相对于光的运动尺度。
常见问题
它适用于多电子原子吗？ 玻尔模型只对单电子体系（如 H、He⁺、Li²⁺ 等）严格成立。对于其他原子，它只能给出近似结果。
能量为什么是负的？ 束缚态电子的能量，比一个静止于无穷远处的自由电子（其能量定义为 0）要低，因此束缚态的能量都是负值。
什么是玻尔半径？ \(a_0 \approx 0.0529\ \text{nm}\)（即 52.9 pm），它是氢原子基态下质子与电子之间最可能出现的距离。
