¿Qué es la calculadora del modelo de Bohr?
El modelo de Bohr, propuesto por Niels Bohr en 1913, representa un átomo hidrogenoide como un pequeño núcleo con carga positiva alrededor del cual gira un electrón en órbitas circulares fijas y cuantizadas. Esta calculadora obtiene el radio de la órbita de un electrón y su nivel de energía para cualquier átomo o ion hidrogenoide (de un solo electrón). Funciona tanto para el hidrógeno (\(Z = 1\)) como para iones como el He⁺ (\(Z = 2\)) y el Li²⁺ (\(Z = 3\)).
Cómo utilizarla
Introduce dos números enteros: el número cuántico principal n (1, 2, 3, …), que identifica la órbita, y el número atómico Z (la cantidad de protones del núcleo). La calculadora devuelve el radio de la órbita en nanómetros y picómetros, la energía de ese nivel en electronvoltios (eV) y la velocidad orbital del electrón.
Las fórmulas explicadas
El radio de la órbita es $$r_n = \frac{\text{n}^{2} \cdot a_0}{\text{Z}}$$ donde \(a_0 \approx 0{,}0529\ \text{nm}\) es el radio de Bohr, es decir, el radio del estado fundamental del hidrógeno. Las órbitas crecen con el cuadrado de \(n\) y se reducen a medida que aumenta la carga nuclear \(Z\). El nivel de energía es $$E_n = -13{,}6 \cdot \frac{\text{Z}^{2}}{\text{n}^{2}}\ \text{eV}$$ Las energías son negativas porque el electrón está ligado; el valor de 13,6 eV corresponde a la energía de ionización del estado fundamental del hidrógeno.
Ejemplo resuelto
Para el hidrógeno (\(Z = 1\)) en la segunda órbita (\(n = 2\)): $$r_2 = \frac{2^{2} \times 0{,}0529}{1} = 0{,}2117\ \text{nm}$$ y $$E_2 = -13{,}6 \times \frac{1}{4} = -3{,}4\ \text{eV}$$ El electrón se encuentra más alejado y menos ligado que en el estado fundamental (−13,6 eV).
Constantes y Valores de Referencia
El modelo de Bohr utiliza un pequeño conjunto de constantes fundamentales. El radio orbital se escala con el radio de Bohr \(a_0\), mientras que los niveles de energía se escalan con la energía de Rydberg. Los valores a continuación son las cifras recomendadas modernas de CODATA.
| Cantidad | Símbolo | Valor (SI) |
|---|---|---|
| Radio de Bohr | \(a_0\) | 0.05292 nm = 52.92 pm = 5.292 × 10⁻¹¹ m |
| Energía de Rydberg (estado fundamental) | \(E_1\) (H) | 13.606 eV = 2.180 × 10⁻¹⁸ J |
| Masa en reposo del electrón | \(m_e\) | 9.109 × 10⁻³¹ kg |
| Carga elemental | \(e\) | 1.602 × 10⁻¹⁹ C |
| Constante de Coulomb | \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) | 8.988 × 10⁹ N·m²·C⁻² |
| Constante reducida de Planck | \(\hbar\) | 1.055 × 10⁻³⁴ J·s |
| Velocidad orbital de estado fundamental (H) | \(v_1\) | 2.188 × 10⁶ m/s |
| Constante de estructura fina | \(\alpha = v_1/c\) | 7.297 × 10⁻³ ≈ 1/137 (adimensional) |
La velocidad orbital en el estado fundamental del hidrógeno es igual a \(\alpha c\), donde \(c\) es la velocidad de la luz. Por eso \(\alpha\) también se llama constante de estructura fina — establece la escala del movimiento del electrón relativo a la luz.
Preguntas frecuentes
¿Sirve para átomos con varios electrones? El modelo de Bohr es exacto únicamente para sistemas de un solo electrón (H, He⁺, Li²⁺, etc.). Para los demás átomos ofrece solo una aproximación.
¿Por qué la energía es negativa? Un electrón ligado tiene menos energía que uno libre en reposo a una distancia infinita (definida como 0), por lo que los estados ligados son negativos.
¿Qué es el radio de Bohr? \(a_0 \approx 0{,}0529\ \text{nm}\) (52,9 pm) es la distancia más probable entre el protón y el electrón en el hidrógeno en su estado fundamental.
