Что такое калькулятор модели Бора?
Модель Бора, предложенная Нильсом Бором в 1913 году, описывает водородоподобный атом как маленькое положительно заряженное ядро, вокруг которого электрон движется по фиксированным, квантованным круговым орбитам. Этот калькулятор рассчитывает радиус электронной орбиты и её уровень энергии для любого водородоподобного (одноэлектронного) атома или иона. Он подходит как для водорода (Z = 1), так и для ионов вроде He⁺ (Z = 2) и Li²⁺ (Z = 3).
Как пользоваться калькулятором
Введите два целых числа: главное квантовое число n (1, 2, 3, …), которое нумерует орбиту, и зарядовое число Z (число протонов в ядре). Калькулятор выдаёт радиус орбиты в нанометрах и пикометрах, энергию данного уровня в электронвольтах (эВ), а также орбитальную скорость электрона.
Разбор формул
Радиус орбиты вычисляется как $$r_n = \frac{\text{n}^{2} \cdot a_0}{\text{Z}} \qquad (a_0 = 0{,}05292\ \text{nm})$$ где \(a_0 \approx 0{,}0529\) нм — боровский радиус, то есть радиус основного состояния водорода. Орбиты растут пропорционально квадрату n и сжимаются с увеличением заряда ядра Z. Уровень энергии определяется по формуле $$E_n = -13{,}6\,\text{eV} \cdot \frac{\text{Z}^{2}}{\text{n}^{2}}$$ Значения энергии отрицательны, потому что электрон связан с ядром; величина 13,6 эВ — это энергия ионизации водорода из основного состояния.
Пример расчёта
Для водорода (Z = 1) на второй орбите (n = 2): $$r_2 = \frac{2^{2} \times 0{,}0529}{1} = 0{,}2117\ \text{nm}$$ а $$E_2 = -13{,}6 \times \frac{1}{4} = -3{,}4\ \text{eV}$$ Электрон находится дальше от ядра и связан слабее, чем в основном состоянии (−13,6 эВ).
Частые вопросы
Работает ли модель для многоэлектронных атомов? Модель Бора точна только для одноэлектронных систем (H, He⁺, Li²⁺ и т. д.). Для остальных атомов она даёт лишь приближённый результат.
Почему энергия отрицательна? Связанный электрон обладает меньшей энергией, чем свободный покоящийся электрон, удалённый на бесконечность (его энергию принимают за 0), поэтому энергия связанных состояний отрицательна.
Что такое боровский радиус? \(a_0 \approx 0{,}0529\) нм (52,9 пм) — это наиболее вероятное расстояние между протоном и электроном в водороде в основном состоянии.
Константы и справочные значения
Модель Бора использует небольшой набор фундаментальных констант. Радиус орбиты масштабируется с боровским радиусом \(a_0\), а уровни энергии масштабируются с энергией Ридберга. Значения ниже — современные рекомендованные CODATA цифры.
| Величина | Символ | Значение (SI) |
|---|---|---|
| Боровский радиус | \(a_0\) | 0.05292 nm = 52.92 pm = 5.292 × 10⁻¹¹ m |
| Энергия Ридберга (основное состояние) | \(E_1\) (H) | 13.606 eV = 2.180 × 10⁻¹⁸ J |
| Масса покоя электрона | \(m_e\) | 9.109 × 10⁻³¹ kg |
| Элементарный заряд | \(e\) | 1.602 × 10⁻¹⁹ C |
| Постоянная Кулона | \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) | 8.988 × 10⁹ N·m²·C⁻² |
| Приведённая постоянная Планка | \(\hbar\) | 1.055 × 10⁻³⁴ J·s |
| Скорость орбиты в основном состоянии (H) | \(v_1\) | 2.188 × 10⁶ m/s |
| Постоянная тонкой структуры | \(\alpha = v_1/c\) | 7.297 × 10⁻³ ≈ 1/137 (безразмерная) |
Скорость орбиты в основном состоянии водорода равна \(\alpha c\), где \(c\) — скорость света. Именно поэтому \(\alpha\) также называют постоянной тонкой структуры — она определяет масштаб движения электрона относительно света.
