बोर मॉडल कैलकुलेटर क्या है?
बोर मॉडल, जिसे नील्स बोर ने 1913 में प्रस्तुत किया था, हाइड्रोजन जैसे परमाणु को इस तरह दर्शाता है कि एक छोटा धनावेशित नाभिक होता है जिसके चारों ओर इलेक्ट्रॉन निश्चित, क्वांटित वृत्ताकार कक्षाओं में घूमता है। यह कैलकुलेटर किसी भी हाइड्रोजन जैसे (एकल-इलेक्ट्रॉन वाले) परमाणु या आयन के लिए इलेक्ट्रॉन की कक्षा त्रिज्या और उसका ऊर्जा स्तर निकालता है। यह हाइड्रोजन (Z = 1) के साथ-साथ He⁺ (Z = 2) और Li²⁺ (Z = 3) जैसे आयनों के लिए भी काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
दो पूर्णांक दर्ज करें: मुख्य क्वांटम संख्या n (1, 2, 3, …), जो कक्षा को दर्शाती है, और परमाणु क्रमांक Z (नाभिक में प्रोटॉनों की संख्या)। कैलकुलेटर कक्षा की त्रिज्या नैनोमीटर और पिकोमीटर में, उस स्तर की ऊर्जा इलेक्ट्रॉन-वोल्ट (eV) में, और इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति देता है।
सूत्रों की व्याख्या
कक्षा की त्रिज्या $$r_n = \frac{\text{n}^{2} \cdot a_0}{\text{Z}} \qquad (a_0 = 0.05292\ \text{nm})$$ होती है, जहाँ \(a_0 \approx 0.0529\ \text{nm}\) बोर त्रिज्या है — यानी हाइड्रोजन की निम्नतम (ग्राउंड स्टेट) अवस्था की त्रिज्या। कक्षाएँ \(n\) के वर्ग के अनुपात में बढ़ती हैं और नाभिकीय आवेश \(Z\) बढ़ने पर सिकुड़ती हैं। ऊर्जा स्तर $$E_n = -13.6\,\text{eV} \cdot \frac{\text{Z}^{2}}{\text{n}^{2}}$$ है। ऊर्जाएँ ऋणात्मक होती हैं क्योंकि इलेक्ट्रॉन बंधित अवस्था में होता है; 13.6 eV का मान हाइड्रोजन की ग्राउंड-स्टेट आयनन ऊर्जा है।
हल किया गया उदाहरण
हाइड्रोजन (Z = 1) के लिए दूसरी कक्षा (n = 2) में: $$r_2 = \frac{2^{2} \times 0.0529}{1} = 0.2117\ \text{nm}$$ और $$E_2 = -13.6 \times \frac{1}{4} = -3.4\ \text{eV}$$ इलेक्ट्रॉन ग्राउंड स्टेट (−13.6 eV) की तुलना में नाभिक से अधिक दूर और कम मजबूती से बंधा होता है।
स्थिरांक और संदर्भ मान
बोह्र मॉडल मौलिक स्थिरांकों के एक छोटे समूह का उपयोग करता है। कक्षा की त्रिज्या बोह्र त्रिज्या \(a_0\) के साथ मापी जाती है, जबकि ऊर्जा स्तर रिडबर्ग ऊर्जा के साथ मापे जाते हैं। नीचे दिए गए मान आधुनिक CODATA-अनुशंसित आंकड़े हैं।
| भौतिकी राशि | प्रतीक | मान (SI) |
|---|---|---|
| बोह्र त्रिज्या | \(a_0\) | 0.05292 nm = 52.92 pm = 5.292 × 10⁻¹¹ m |
| रिडबर्ग ऊर्जा (मौलिक अवस्था) | \(E_1\) (H) | 13.606 eV = 2.180 × 10⁻¹⁸ J |
| इलेक्ट्रॉन विराम द्रव्यमान | \(m_e\) | 9.109 × 10⁻³¹ kg |
| प्राथमिक आवेश | \(e\) | 1.602 × 10⁻¹⁹ C |
| कूलम्ब स्थिरांक | \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) | 8.988 × 10⁹ N·m²·C⁻² |
| घटी हुई प्लैंक स्थिरांक | \(\hbar\) | 1.055 × 10⁻³⁴ J·s |
| मौलिक अवस्था कक्षीय गति (H) | \(v_1\) | 2.188 × 10⁶ m/s |
| सूक्ष्म संरचना स्थिरांक | \(\alpha = v_1/c\) | 7.297 × 10⁻³ ≈ 1/137 (आयामहीन) |
हाइड्रोजन की मौलिक अवस्था में कक्षीय गति \(\alpha c\) के बराबर है, जहाँ \(c\) प्रकाश की गति है। यही कारण है कि \(\alpha\) को सूक्ष्म संरचना स्थिरांक भी कहा जाता है — यह प्रकाश के सापेक्ष इलेक्ट्रॉन की गति का पैमाना निर्धारित करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के लिए काम करता है? बोर मॉडल केवल एकल-इलेक्ट्रॉन वाले निकायों (H, He⁺, Li²⁺ आदि) के लिए ही सटीक है। अन्य परमाणुओं के लिए यह केवल एक अनुमान देता है।
ऊर्जा ऋणात्मक क्यों होती है? एक बंधित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा उस स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन की तुलना में कम होती है जो अनंत दूरी पर स्थिर हो (जिसे 0 माना जाता है), इसलिए बंधित अवस्थाओं की ऊर्जा ऋणात्मक होती है।
बोर त्रिज्या क्या है? \(a_0 \approx 0.0529\ \text{nm}\) (52.9 pm) ग्राउंड-स्टेट हाइड्रोजन में प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के बीच की सबसे संभावित दूरी है।
