डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य क्या है?
सन् 1924 में लुई डी ब्रॉग्ली ने यह विचार प्रस्तुत किया कि गति करने वाले हर कण के साथ एक तरंग जुड़ी होती है। इस तरंग की तरंगदैर्ध्य, जिसे डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य कहते हैं, कण के संवेग के व्युत्क्रमानुपाती होती है। यह अवधारणा क्वांटम यांत्रिकी की नींव है और इलेक्ट्रॉन विवर्तन जैसी घटनाओं की व्याख्या करती है। यह कैलकुलेटर अनापेक्षिकीय (non-relativistic) संवेग (\(p = mv\)) का उपयोग करते हुए किसी भी कण के लिए काम करता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
कण का द्रव्यमान किलोग्राम में और उसका वेग मीटर प्रति सेकंड में दर्ज करें। कैलकुलेटर तरंगदैर्ध्य को मीटर में (वैज्ञानिक संकेतन में) निकालता है और साथ ही उसे नैनोमीटर में भी बदल देता है, और प्रयुक्त संवेग भी दिखाता है। इलेक्ट्रॉन के लिए द्रव्यमान \(\approx 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}\) और प्रोटॉन के लिए \(\approx 1.673 \times 10^{-27}\ \text{kg}\) होता है।
सूत्र की व्याख्या
यह संबंध है
$$\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$$जहाँ \(h\) प्लांक नियतांक (\(6.62607015 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}\)) है, \(m\) द्रव्यमान है और \(v\) वेग है। चूँकि संवेग \(p = m \cdot v\) होता है, इसलिए यह \(\lambda = h / p\) के समतुल्य है। भारी या तेज़ गति वाले कणों की तरंगदैर्ध्य छोटी होती है — यही कारण है कि रोज़मर्रा की वस्तुओं में कोई दृश्य तरंग-व्यवहार दिखाई नहीं देता।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए एक इलेक्ट्रॉन (\(m = 9.10938356 \times 10^{-31}\ \text{kg}\)) \(v = 2.18 \times 10^{6}\ \text{m/s}\) के वेग से गति कर रहा है। संवेग
$$p = 9.10938356 \times 10^{-31} \times 2.18 \times 10^{6} \approx 1.9858 \times 10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$$होगा। तब
$$\lambda = \frac{6.62607015 \times 10^{-34}}{1.9858 \times 10^{-24}} \approx 3.337 \times 10^{-10}\ \text{m}$$यानी लगभग \(0.334\ \text{nm}\) — जो परमाणुओं के बीच की दूरी के लगभग बराबर है। इसी कारण इलेक्ट्रॉन क्रिस्टलों से होकर विवर्तित होते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या इसमें आपेक्षिकता (relativity) को ध्यान में रखा गया है? नहीं। यह चिरसम्मत (classical) संवेग \(p = mv\) का उपयोग करता है, जो प्रकाश की गति से काफ़ी कम वेगों के लिए सटीक है। प्रकाश की गति के निकट आपेक्षिकीय संवेग का उपयोग करना चाहिए।
मुझे कौन-सी इकाइयाँ उपयोग करनी चाहिए? द्रव्यमान किलोग्राम में और वेग मीटर प्रति सेकंड में देने पर तरंगदैर्ध्य मीटर में मिलती है। सुविधा के लिए यह उपकरण परिणाम नैनोमीटर में भी बताता है।
बड़ी वस्तुओं के लिए तरंगदैर्ध्य इतनी सूक्ष्म क्यों होती है? क्योंकि प्लांक नियतांक का मान बेहद छोटा है, इसलिए रोज़मर्रा की भारी वस्तुओं की तरंगदैर्ध्य किसी भी मापने योग्य पैमाने से कहीं नीचे होती है, और वे चिरसम्मत रूप से व्यवहार करती हैं।
