보어 모형 계산기란?
보어 모형은 1913년 닐스 보어가 제안한 원자 모형으로, 양전하를 띤 작은 원자핵 주위를 전자가 정해진 양자화된 원형 궤도를 따라 도는 수소형 원자를 설명합니다. 이 계산기는 전자가 하나뿐인 수소형 원자나 이온에 대해 전자 궤도의 반지름과 에너지 준위를 계산해 줍니다. 수소(\(Z = 1\))는 물론 He⁺(\(Z = 2\)), Li²⁺(\(Z = 3\))와 같은 이온에도 적용할 수 있습니다.
사용 방법
두 개의 정수를 입력하면 됩니다. 하나는 궤도를 나타내는 주양자수 \(n\)(1, 2, 3, …)이고, 다른 하나는 원자핵 속 양성자 수인 원자번호 \(Z\)입니다. 계산기는 궤도 반지름을 나노미터(nm)와 피코미터(pm) 단위로, 해당 준위의 에너지를 전자볼트(eV) 단위로, 그리고 전자의 궤도 속도까지 함께 알려 줍니다.
공식 풀이
궤도 반지름은 다음과 같이 구합니다.
$$r_n = \frac{n^{2} \cdot a_0}{Z} \qquad (a_0 = 0.05292\ \text{nm})$$여기서 \(a_0 \approx 0.0529\ \text{nm}\)은 보어 반지름으로, 수소 바닥상태의 반지름을 뜻합니다. 궤도는 \(n\)의 제곱에 비례해 커지고, 원자핵 전하 \(Z\)가 커질수록 작아집니다. 에너지 준위는 다음과 같습니다.
$$E_n = -13.6\,\text{eV} \cdot \frac{Z^{2}}{n^{2}}$$전자가 원자핵에 속박되어 있기 때문에 에너지는 음수로 나오며, 13.6 eV는 수소 바닥상태의 이온화 에너지에 해당합니다.
계산 예시
수소(\(Z = 1\))의 두 번째 궤도(\(n = 2\))를 예로 들어 보겠습니다.
$$r_2 = \frac{2^{2} \times 0.0529}{1} = 0.2117\ \text{nm}$$그리고
$$E_2 = -13.6 \times \frac{1}{4} = -3.4\ \text{eV}$$가 됩니다. 이 전자는 바닥상태(\(-13.6\ \text{eV}\))보다 더 멀리 떨어져 있으며, 원자핵에 덜 강하게 속박되어 있습니다.
상수 & 참고값
보어 모형은 작은 기본상수 집합을 사용합니다. 궤도 반경은 보어 반경 \(a_0\)로 스케일되고, 에너지 준위는 리드베리 에너지로 스케일됩니다. 아래의 값들은 현대 CODATA 권장 수치입니다.
| 물리량 | 기호 | 값 (SI) |
|---|---|---|
| 보어 반경 | \(a_0\) | 0.05292 nm = 52.92 pm = 5.292 × 10⁻¹¹ m |
| 리드베리 에너지 (바닥 상태) | \(E_1\) (H) | 13.606 eV = 2.180 × 10⁻¹⁸ J |
| 전자 정지질량 | \(m_e\) | 9.109 × 10⁻³¹ kg |
| 기본 전하 | \(e\) | 1.602 × 10⁻¹⁹ C |
| 쿨롱 상수 | \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) | 8.988 × 10⁹ N·m²·C⁻² |
| 축소된 플랑크 상수 | \(\hbar\) | 1.055 × 10⁻³⁴ J·s |
| 바닥 상태 궤도 속도 (H) | \(v_1\) | 2.188 × 10⁶ m/s |
| 미세구조 상수 | \(\alpha = v_1/c\) | 7.297 × 10⁻³ ≈ 1/137 (무차원) |
수소의 바닥 상태에서의 궤도 속도는 \(\alpha c\)와 같습니다. 여기서 \(c\)는 광속입니다. 이것이 \(\alpha\)가 미세구조 상수라고도 불리는 이유입니다 — 이것은 전자의 운동이 광속에 상대적으로 어느 정도인지를 정합니다.
자주 묻는 질문
전자가 여러 개인 원자에도 쓸 수 있나요? 보어 모형은 전자가 하나뿐인 계(H, He⁺, Li²⁺ 등)에서만 정확합니다. 그 외의 원자에서는 근삿값만 제공합니다.
에너지가 왜 음수인가요? 속박된 전자는 무한히 먼 곳에 정지해 있는 자유 전자(에너지 0으로 정의)보다 에너지가 낮기 때문에, 속박 상태의 에너지는 음수가 됩니다.
보어 반지름이란 무엇인가요? \(a_0 \approx 0.0529\ \text{nm}\)(52.9 pm)은 바닥상태 수소에서 양성자와 전자 사이의 가장 확률이 높은 거리를 뜻합니다.
