什麼是波耳模型計算機？
波耳模型由尼爾斯·波耳（Niels Bohr）於 1913 年提出，把類氫原子描述成一個帶正電的小原子核，外圍有電子在固定且量子化的圓形軌道上運行。這個計算機能算出任何類氫（單電子）原子或離子的電子軌道半徑與能階。它適用於氫原子（Z = 1），也適用於像 He⁺（Z = 2）、Li²⁺（Z = 3）這類離子。
如何使用
請輸入兩個整數：主量子數 \(n\)（1、2、3……），用來標示電子所在的軌道；以及原子序 \(Z\)（原子核中的質子數）。計算機會回傳以奈米（nm）和皮米（pm）表示的軌道半徑、該能階的能量（以電子伏特 eV 為單位），以及電子的軌道速度。
公式解析
軌道半徑為 $$r_n = \frac{n^{2} \cdot a_0}{Z} \qquad (a_0 \approx 0.0529\ \text{nm})$$ 其中 \(a_0 \approx 0.0529\ \text{nm}\) 是波耳半徑——也就是氫原子基態的半徑。軌道半徑隨 \(n\) 的平方增大，並隨核電荷 \(Z\) 增加而縮小。能階則為 $$E_n = -13.6 \cdot \frac{Z^{2}}{n^{2}}\ \text{eV}$$ 能量之所以為負值，是因為電子處於束縛狀態；其中 13.6 eV 正是氫原子基態的游離能。
範例計算
以氫原子（Z = 1）位於第二軌道（n = 2）為例：$$r_2 = \frac{2^{2} \times 0.0529}{1} = 0.2117\ \text{nm}$$ $$E_2 = -13.6 \times \frac{1}{4} = -3.4\ \text{eV}$$ 相較於基態（−13.6 eV），此時電子距離原子核更遠，束縛也更鬆。
常数和參考值
玻爾模型使用一組小的基本常數。軌道半徑按玻爾半徑 \(a_0\) 縮放，而能級按里德伯能縮放。下面的值是現代 CODATA 推薦的數據。
| 物理量 | 符號 | 值 (SI) |
|---|---|---|
| 玻爾半徑 | \(a_0\) | 0.05292 nm = 52.92 pm = 5.292 × 10⁻¹¹ m |
| 里德伯能（基態） | \(E_1\) (H) | 13.606 eV = 2.180 × 10⁻¹⁸ J |
| 電子靜止質量 | \(m_e\) | 9.109 × 10⁻³¹ kg |
| 基本電荷 | \(e\) | 1.602 × 10⁻¹⁹ C |
| 庫侖常數 | \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) | 8.988 × 10⁹ N·m²·C⁻² |
| 約化普朗克常數 | \(\hbar\) | 1.055 × 10⁻³⁴ J·s |
| 基態軌道速度（H） | \(v_1\) | 2.188 × 10⁶ m/s |
| 精細結構常數 | \(\alpha = v_1/c\) | 7.297 × 10⁻³ ≈ 1/137（無量綱） |
氫的基態的軌道速度等於 \(\alpha c\)，其中 \(c\) 是光速。這就是為什麼 \(\alpha\) 也叫做精細結構常數——它決定了電子相對於光的運動尺度。
常見問題
這適用於多電子原子嗎？波耳模型只有在單電子系統（如 H、He⁺、Li²⁺ 等）中才完全準確。對於其他原子，它只能提供近似結果。
為什麼能量是負的？束縛狀態的電子，其能量比一個靜止於無限遠處的自由電子（定義為 0）還要低，因此束縛態的能量為負值。
什麼是波耳半徑？\(a_0 \approx 0.0529\ \text{nm}\)（52.9 pm），是基態氫原子中質子與電子之間最可能出現的距離。
