Qu'est-ce que la somme d'une suite arithmétique ?
La somme d'une suite arithmétique correspond à l'addition de tous les termes d'une suite dont chaque terme augmente d'une valeur constante appelée la raison (\(d\)). À partir d'un premier terme \(a_1\), la suite s'écrit \(a_1, a_1+d, a_1+2d\), et ainsi de suite. La somme des \(n\) premiers termes se note \(S_n\). Ce calculateur détermine \(S_n\) instantanément, ainsi que le dernier terme \(a_n\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez trois valeurs : le premier terme \(a_1\), la raison \(d\) (qui peut être négative ou décimale) et le nombre de termes \(n\) (un entier positif). Le calculateur affiche alors la somme totale, la valeur du dernier terme \(a_n\) et reprend vos données afin que vous puissiez vérifier votre saisie.
La formule expliquée
La formule de base est $$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$ L'expression \((n-1)d\) indique de combien le dernier terme s'est éloigné du premier ; ainsi, \(2a_1 + (n-1)d\) équivaut à \(a_1 + a_n\). La multiplication par \(\frac{n}{2}\) illustre la célèbre astuce de Gauss : en associant le premier et le dernier terme, on obtient toujours la même somme \(a_1 + a_n\), et il existe \(\frac{n}{2}\) paires de ce type. On en déduit la forme équivalente $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
Exemple résolu
Supposons \(a_1 = 2\), \(d = 3\) et \(n = 5\). Les termes sont \(2, 5, 8, 11, 14\). Le dernier terme vaut $$a_n = 2 + (5-1)\cdot 3 = 14$$ La somme est $$S_5 = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + 4\cdot 3\right) = \frac{5}{2}\left(4 + 12\right) = \frac{5}{2}\cdot 16 = 40$$ Vérification par addition : \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\). ✔
FAQ
La raison \(d\) peut-elle être négative ? Oui — une raison négative engendre une suite décroissante, et la formule reste valable.
Que se passe-t-il si \(d = 0\) ? Tous les termes sont égaux à \(a_1\), donc la somme se réduit simplement à \(n \cdot a_1\).
Cela fonctionne-t-il avec des termes non entiers ? Oui, \(a_1\) et \(d\) peuvent être décimaux ; seul \(n\) doit être un entier positif, puisqu'il compte le nombre de termes.
