什么是等差数列求和？
等差数列求和，指的是把等差数列各项相加得到的结果。所谓等差数列，就是相邻两项之间的差固定不变的一组数，这个固定的差值称为公差（\(d\)）。从首项\(a_1\)出发，数列依次为\(a_1\)、\(a_1+d\)、\(a_1+2d\)……以此类推。前\(n\)项相加的结果记作\(S_n\)。本计算器可瞬间算出\(S_n\)，同时给出末项\(a_n\)的数值。
如何使用本计算器
只需填写三个数值：首项\(a_1\)、公差\(d\)（可以是负数或小数）以及项数\(n\)（必须是正整数）。计算器会返回数列的总和、末项\(a_n\)的数值，并同时显示你输入的各项参数，方便你核对设置是否正确。
公式详解
核心公式为 $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right).$$ 其中\((n-1)d\) 表示末项相比首项一共增加了多少，因此 \(2a_1 + (n-1)d\) 正好等于 \(a_1 + a_n\)。再乘以 \(\frac{n}{2}\)，就是著名的"高斯求和法"：把首项与末项配对，每一对之和都等于 \(a_1 + a_n\)，而这样的配对共有 \(\frac{n}{2}\) 组。由此可得到等价公式 $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}.$$
实例演示
假设 \(a_1 = 2\)，\(d = 3\)，\(n = 5\)。那么各项依次为 2、5、8、11、14。末项 \(a_n = 2 + (5-1)\cdot 3 = 14\)。求和结果为 $$S_5 = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + 4\cdot 3\right) = \frac{5}{2}(4 + 12) = \frac{5}{2}\cdot 16 = 40.$$ 逐项相加验证：\(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\)。✔
常见问题
公差 \(d\) 可以是负数吗？可以。公差为负时数列递减，公式同样适用。
如果 \(d = 0\) 会怎样？此时每一项都等于 \(a_1\)，所以总和就是 \(n \cdot a_1\)。
各项可以不是整数吗？可以，\(a_1\) 和 \(d\) 都允许是小数；只有 \(n\) 必须为正整数，因为它表示项的数量。
