什麼是等差級數的和？
等差級數就是把一個等差數列的各項相加而得到的總和。所謂等差數列，是指每一項都比前一項多出一個固定數值，這個固定差值稱為「公差」（\(d\)）。從首項 \(a_1\) 開始，數列依序為 \(a_1\)、\(a_1+d\)、\(a_1+2d\)……以此類推。前 \(n\) 項的總和記作 \(S_n\)。這個計算機能立即算出 \(S_n\)，同時顯示末項 \(a_n\)。
如何使用這個計算機
只需輸入三個數值：首項 \(a_1\)、公差 \(d\)（可以是負數或小數），以及項數 \(n\)（須為正整數）。計算機會回傳級數總和、末項 \(a_n\) 的數值，並同時列出你輸入的條件，方便你核對設定是否正確。
公式解析
核心公式為 $$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$ 其中 \((n-1)d\) 代表末項相對於首項移動了多少，因此 \(2a_1 + (n-1)d\) 正好等於 \(a_1 + a_n\)。再乘以 \(\frac{n}{2}\)，便是著名的高斯求和技巧：把首項與末項配成一對，每一對的和都是 \(a_1 + a_n\)，而這樣的配對共有 \(\frac{n}{2}\) 組。由此可得到等價形式 $$S_n = \frac{n\left(a_1 + a_n\right)}{2}$$
實例演練
假設 \(a_1 = 2\)、\(d = 3\)、\(n = 5\)。各項為 2、5、8、11、14。末項為 $$a_n = 2 + \left(5 - 1\right)\cdot 3 = 14$$ 總和為 $$S_5 = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + 4\cdot 3\right) = \frac{5}{2}\left(4 + 12\right) = \frac{5}{2}\cdot 16 = 40$$ 用直接相加來驗證：\(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\)。✔
常見問題
公差 \(d\) 可以是負數嗎？可以——負的公差會產生遞減的數列，公式依然成立。
如果 \(d = 0\) 會怎樣？那麼每一項都等於 \(a_1\)，總和就是 \(n\cdot a_1\)。
非整數的項也能計算嗎？可以，\(a_1\) 與 \(d\) 都可以是小數；只有 \(n\) 必須是正整數，因為它代表項數的個數。
