Что такое сумма арифметической прогрессии?
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член больше предыдущего на одну и ту же величину, называемую разностью прогрессии (\(d\)). Начиная с первого члена \(a_1\), последовательность выглядит так: \(a_1, a_1+d, a_1+2d\) и так далее. Сумму первых \(n\) членов обозначают \(S_n\). Наш калькулятор мгновенно вычисляет \(S_n\), а заодно показывает и последний член \(a_n\).
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: первый член \(a_1\), разность прогрессии \(d\) (она может быть отрицательной или дробной) и число членов \(n\) (целое положительное число). Калькулятор покажет общую сумму, значение последнего члена \(a_n\) и продублирует введённые данные, чтобы вы могли проверить условие задачи.
Разбор формулы
Основная формула выглядит так: $$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$ Выражение \((n-1)d\) показывает, насколько последний член «ушёл» от первого, поэтому \(2a_1 + (n-1)d\) равно \(a_1 + a_n\). Умножение на \(\frac{n}{2}\) — это знаменитый приём Гаусса: если складывать первый и последний члены попарно, каждая пара даёт одну и ту же сумму \(a_1 + a_n\), а всего таких пар получается \(\frac{n}{2}\). Отсюда вытекает и эквивалентная запись: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
Пример с решением
Пусть \(a_1 = 2\), \(d = 3\) и \(n = 5\). Тогда члены прогрессии равны \(2, 5, 8, 11, 14\). Последний член $$a_n = 2 + (5-1)\cdot 3 = 14$$ Сумма: $$S_5 = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + 4\cdot 3\right) = \frac{5}{2}\left(4 + 12\right) = \frac{5}{2}\cdot 16 = 40$$ Проверим сложением: \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\). ✔
Частые вопросы
Может ли \(d\) быть отрицательной? Да — отрицательная разность даёт убывающую прогрессию, и формула при этом работает точно так же.
Что если \(d = 0\)? Тогда все члены равны \(a_1\), и сумма попросту равна \(n \cdot a_1\).
Работает ли это с дробными значениями? Да, \(a_1\) и \(d\) могут быть дробными; только \(n\) должно быть целым положительным числом, ведь оно задаёт количество членов.
