समांतर श्रेणी का योग क्या है?
समांतर श्रेणी (Arithmetic Series) किसी समांतर अनुक्रम के पदों का योग होती है — यानी संख्याओं की ऐसी सूची जिसमें हर पद एक निश्चित मात्रा से बढ़ता है। इस निश्चित मात्रा को सार्व अंतर (\(d\)) कहते हैं। पहले पद \(a_1\) से शुरू होकर यह अनुक्रम बनता है \(a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d\), और इसी तरह आगे। पहले \(n\) पदों के योग को \(S_n\) लिखा जाता है। यह कैलकुलेटर \(S_n\) के साथ-साथ अंतिम पद \(a_n\) को भी तुरंत निकाल देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीन मान भरें: पहला पद \(a_1\), सार्व अंतर \(d\) (यह ऋणात्मक या दशमलव भी हो सकता है), और पदों की संख्या \(n\) (एक धनात्मक पूर्ण संख्या)। कैलकुलेटर आपको कुल योग, अंतिम पद \(a_n\) का मान और आपके भरे हुए मान वापस दिखाता है, ताकि आप अपनी गणना की पुष्टि कर सकें।
सूत्र की व्याख्या
मुख्य सूत्र है $$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$ पद \((n-1)d\) यह बताता है कि अंतिम पद पहले पद से कितनी दूर पहुँच गया है, इसलिए \(2a_1 + (n-1)d\) वास्तव में \(a_1 + a_n\) के बराबर होता है। इसे \(\frac{n}{2}\) से गुणा करना गॉस की प्रसिद्ध तरकीब है: पहले और अंतिम पद को जोड़ने पर हर बार वही योग \(a_1 + a_n\) मिलता है, और ऐसे कुल \(\frac{n}{2}\) जोड़े बनते हैं। इससे एक समतुल्य रूप मिलता है $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(a_1 = 2\), \(d = 3\), और \(n = 5\)। तब पद होंगे \(2, 5, 8, 11, 14\)। अंतिम पद $$a_n = 2 + (5-1)\cdot 3 = 14$$ होगा। योग $$S_5 = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + 4\cdot 3\right) = \frac{5}{2}\left(4 + 12\right) = \frac{5}{2}\cdot 16 = 40$$ सीधे जोड़कर जाँचें: \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\)। ✔
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या \(d\) ऋणात्मक हो सकता है? हाँ — ऋणात्मक सार्व अंतर से घटता हुआ अनुक्रम बनता है, और सूत्र फिर भी सही काम करता है।
अगर \(d = 0\) हो तो? तब हर पद \(a_1\) के बराबर होगा, इसलिए योग केवल \(n\cdot a_1\) होगा।
क्या यह दशमलव पदों पर भी काम करता है? हाँ, \(a_1\) और \(d\) दशमलव हो सकते हैं; सिर्फ \(n\) एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, क्योंकि यह पदों की गिनती करता है।
