等差数列の和とは？
等差数列とは、各項が「公差（d）」と呼ばれる一定の値ずつ増えていく数の並びのことです。たとえば初項a₁から始めると、数列は\(a_1, a_1+d, a_1+2d\)……と続きます。この数列の各項を足し合わせたものが「等差数列の和」で、最初のn項までの和を\(S_n\)と表します。本ツールでは、この\(S_n\)に加えて末項\(a_n\)の値も瞬時に算出します。
使い方
入力するのは3つの値だけです。初項a₁、公差d（負の数や小数でもOK）、そして項数n（正の整数）を入力してください。計算機が総和、末項\(a_n\)の値を返すと同時に、入力した値も表示するので、設定が正しいかすぐに確認できます。
公式の解説
基本となる公式は$$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$です。\((n-1)d\)は末項が初項からどれだけ離れているかを表すため、\(2a_1 + (n-1)d\)は\(a_1 + a_n\)と等しくなります。これに\(\frac{n}{2}\)を掛けるのが、かの有名な「ガウスの工夫」です。最初の項と最後の項をペアにするとどのペアも合計が\(a_1 + a_n\)になり、そのようなペアが\(\frac{n}{2}\)組できるという考え方です。これにより、もう一つの形である$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$も導けます。
計算例
たとえば\(a_1 = 2\)、\(d = 3\)、\(n = 5\)とします。各項は2, 5, 8, 11, 14です。末項は\(a_n = 2 + (5-1)\times 3 = 14\)。和は$$S_5 = \frac{5}{2}\left(2\times 2 + 4\times 3\right) = \frac{5}{2}\left(4 + 12\right) = \frac{5}{2}\times 16 = 40$$となります。実際に足し算で確かめても、\(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\) ✔ と一致します。
よくある質問
公差dは負の数でもよいですか？ はい。公差が負の場合は減少していく数列になりますが、公式はそのまま使えます。
d = 0のときはどうなりますか？ すべての項が\(a_1\)と等しくなるため、和は単純に\(n \times a_1\)になります。
整数以外の項にも対応していますか？ はい。a₁とdは小数でもかまいません。ただしnは項の個数を数えるものなので、正の整数である必要があります。
