등차수열의 합이란?
등차수열의 합이란 말 그대로 등차수열에 들어 있는 항들을 모두 더한 값입니다. 등차수열은 각 항이 일정한 값만큼 커지거나 작아지는 수의 나열이며, 이때 더해지는 일정한 값을 공차(\(d\))라고 부릅니다. 첫째항 \(a_1\)에서 출발하면 수열은 \(a_1, a_1+d, a_1+2d \ldots\) 순으로 이어집니다. 이렇게 첫째항부터 \(n\)번째 항까지 더한 값을 보통 \(S_n\)으로 표기합니다. 이 계산기는 \(S_n\)뿐만 아니라 마지막 항 \(a_n\)까지 곧바로 계산해 줍니다.
계산기 사용법
입력값은 세 가지입니다. 첫째항 \(a_1\), 공차 \(d\)(음수나 소수도 가능합니다), 그리고 항수 \(n\)(1 이상의 자연수)을 차례로 넣어 주세요. 그러면 전체 합과 마지막 항 \(a_n\)의 값이 표시되고, 입력한 값도 함께 보여 주기 때문에 설정이 올바른지 바로 확인할 수 있습니다.
공식 풀어 보기
핵심 공식은 다음과 같습니다.
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$
여기서 \((n-1)d\)는 마지막 항이 첫째항에서 얼마나 멀어졌는지를 나타내므로, \(2a_1 + (n-1)d\) 는 곧 \(a_1 + a_n\)과 같습니다. 여기에 \(\frac{n}{2}\)를 곱하는 것이 바로 그 유명한 가우스의 아이디어입니다. 첫째항과 마지막 항을 짝지으면 그 합은 항상 \(a_1 + a_n\)로 일정하고, 이런 짝이 모두 \(\frac{n}{2}\)개 생기기 때문이죠. 그래서 같은 의미의 또 다른 형태인 \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\) 도 자주 쓰입니다.
예제로 확인하기
\(a_1 = 2\), \(d = 3\), \(n = 5\) 라고 해 봅시다. 각 항은 \(2, 5, 8, 11, 14\) 입니다. 마지막 항은 $$a_n = 2 + (5-1)\cdot 3 = 14$$ 이고, 합은 $$S_5 = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + 4\cdot 3\right) = \frac{5}{2}\left(4 + 12\right) = \frac{5}{2}\cdot 16 = 40$$ 이 됩니다. 직접 더해서 확인해도 \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\) 으로 똑같습니다. ✔
자주 묻는 질문
공차 \(d\)가 음수여도 되나요? 됩니다. 공차가 음수이면 점점 작아지는 수열이 되지만, 공식은 그대로 똑같이 적용됩니다.
\(d = 0\)이면 어떻게 되나요? 모든 항이 \(a_1\)로 같아지므로 합은 단순히 \(n \cdot a_1\) 가 됩니다.
정수가 아닌 항도 계산되나요? 네, \(a_1\)과 \(d\)는 소수여도 괜찮습니다. 다만 \(n\)은 항의 개수를 세는 값이므로 반드시 1 이상의 자연수여야 합니다.
