Tổng của cấp số cộng là gì?
Cấp số cộng là một dãy số trong đó mỗi số hạng hơn số hạng đứng trước nó một lượng cố định gọi là công sai (\(d\)). Bắt đầu từ số hạng đầu \(a_1\), dãy số sẽ là \(a_1, a_1+d, a_1+2d\), và cứ thế tiếp tục. Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên được ký hiệu là \(S_n\). Công cụ này tính \(S_n\) ngay lập tức, đồng thời cho biết số hạng cuối \(a_n\).
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập ba giá trị: số hạng đầu \(a_1\), công sai \(d\) (có thể là số âm hoặc số thập phân) và số số hạng \(n\) (là một số nguyên dương). Máy tính sẽ trả về tổng của dãy, giá trị của số hạng cuối \(a_n\), đồng thời hiển thị lại các dữ liệu bạn đã nhập để bạn dễ dàng kiểm tra.
Giải thích công thức
Công thức cốt lõi là $$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$ Biểu thức \((n-1)d\) cho biết số hạng cuối đã cách số hạng đầu bao xa, nên \(2a_1 + (n-1)d\) chính bằng \(a_1 + a_n\). Nhân với \(\frac{n}{2}\) chính là "mẹo Gauss" nổi tiếng: khi ghép số hạng đầu với số hạng cuối, ta luôn được cùng một tổng \(a_1 + a_n\), và có tất cả \(\frac{n}{2}\) cặp như vậy. Từ đó suy ra dạng tương đương $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a_1 = 2\), \(d = 3\) và \(n = 5\). Các số hạng lần lượt là \(2, 5, 8, 11, 14\). Số hạng cuối là $$a_n = 2 + (5-1)\cdot 3 = 14$$ Tổng được tính là $$S_5 = \frac{5}{2}\cdot(2\cdot 2 + 4\cdot 3) = \frac{5}{2}\cdot(4 + 12) = \frac{5}{2}\cdot 16 = 40$$ Kiểm tra lại bằng phép cộng trực tiếp: \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\). ✔
Câu hỏi thường gặp
Công sai \(d\) có thể là số âm không? Có — công sai âm tạo ra một dãy số giảm dần, và công thức vẫn đúng.
Nếu \(d = 0\) thì sao? Khi đó mọi số hạng đều bằng \(a_1\), nên tổng đơn giản là \(n \cdot a_1\).
Công thức có áp dụng được cho các số hạng không nguyên không? Có, \(a_1\) và \(d\) có thể là số thập phân; chỉ riêng \(n\) bắt buộc phải là số nguyên dương vì nó đếm số lượng số hạng.
