¿Qué es la suma de una serie aritmética?
Una serie aritmética es la suma de los términos de una progresión aritmética, es decir, una lista de números en la que cada término aumenta en una cantidad fija llamada diferencia común (d). Partiendo de un primer término a₁, la sucesión es a₁, a₁+d, a₁+2d, y así sucesivamente. La suma de los primeros n términos se representa con Sₙ. Esta calculadora obtiene Sₙ al instante, junto con el último término aₙ.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tres valores: el primer término \(a_1\), la diferencia común \(d\) (puede ser negativa o decimal) y el número de términos \(n\) (un número entero positivo). La calculadora te devuelve la suma total, el valor del último término \(a_n\) y muestra de nuevo tus datos para que puedas comprobar el planteamiento.
La fórmula explicada
La fórmula principal es $$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$ La expresión \((n-1)d\) indica cuánto se ha alejado el último término del primero, de modo que \(2a_1 + (n-1)d\) equivale a \(a_1 + a_n\). Multiplicar por \(n/2\) es el célebre truco de Gauss: al emparejar el primer término con el último se obtiene siempre la misma suma \(a_1 + a_n\), y existen \(n/2\) parejas de este tipo. De ahí surge la forma equivalente $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(a_1 = 2\), \(d = 3\) y \(n = 5\). Los términos son 2, 5, 8, 11, 14. El último término es $$a_n = 2 + (5-1)\cdot 3 = 14$$ La suma es $$S_5 = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + 4\cdot 3\right) = \frac{5}{2}\left(4 + 12\right) = \frac{5}{2}\cdot 16 = 40$$ Si lo comprobamos sumando: \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\). ✔
Preguntas frecuentes
¿Puede \(d\) ser negativa? Sí; una diferencia común negativa genera una sucesión decreciente, y la fórmula sigue funcionando igual.
¿Qué ocurre si \(d = 0\)? Todos los términos son iguales a \(a_1\), por lo que la suma es simplemente \(n \cdot a_1\).
¿Funciona con términos no enteros? Sí, \(a_1\) y \(d\) pueden ser decimales; solo \(n\) debe ser un número entero positivo, ya que cuenta cuántos términos hay.
