ما هو مجموع المتسلسلة الحسابية؟
المتسلسلة الحسابية هي ناتج جمع حدود متتالية حسابية، أي قائمة من الأعداد يزداد فيها كل حد عن سابقه بمقدار ثابت يُسمى الفرق المشترك (\(d\)). فإذا بدأنا من حد أول \(a_1\)، تكون المتتالية على الشكل: \(a_1\)، و\(a_1+d\)، و\(a_1+2d\)، وهكذا. ويُرمز إلى مجموع أول \(n\) حدًا بالرمز \(S_n\). تحسب هذه الأداة قيمة \(S_n\) فورًا إلى جانب قيمة الحد الأخير \(a_n\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: الحد الأول \(a_1\)، والفرق المشترك \(d\) (ويمكن أن يكون سالبًا أو عددًا عشريًا)، وعدد الحدود \(n\) (عدد صحيح موجب). تعرض لك الحاسبة المجموع الكلي، وقيمة الحد الأخير \(a_n\)، كما تعيد عرض المدخلات للتحقق من صحة إعداد المسألة.
شرح القانون
القانون الأساسي هو $$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$ فالمقدار \((n-1)d\) يمثل المسافة التي قطعها الحد الأخير عن الحد الأول، ومن ثَمَّ يساوي المقدار \(2a_1 + (n-1)d\) مجموعَ \(a_1 + a_n\). أما الضرب في \(\frac{n}{2}\) فهو «حيلة غاوس» الشهيرة: عند جمع الحد الأول مع الأخير نحصل في كل مرة على القيمة نفسها \(a_1 + a_n\)، وعدد هذه الأزواج هو \(\frac{n}{2}\). وهذا يقودنا إلى الصيغة المكافئة $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$
مثال محلول
لنفترض أن \(a_1 = 2\)، و\(d = 3\)، و\(n = 5\). تكون الحدود: 2، 5، 8، 11، 14. والحد الأخير هو $$a_n = 2 + (5-1)\cdot 3 = 14$$ أما المجموع فهو $$S_5 = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + 4\cdot 3\right) = \frac{5}{2}\left(4 + 12\right) = \frac{5}{2}\cdot 16 = 40$$ وللتحقق بالجمع المباشر: \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\). ✔
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون \(d\) سالبًا؟ نعم، فالفرق المشترك السالب يُنتج متتالية متناقصة، ويظل القانون صالحًا للتطبيق.
ماذا لو كان \(d = 0\)؟ عندئذٍ يساوي كل حد قيمة \(a_1\) نفسها، فيكون المجموع ببساطة \(n \cdot a_1\).
هل تعمل الحاسبة مع حدود غير صحيحة؟ نعم، فقيمتا \(a_1\) و\(d\) يمكن أن تكونا عشريتين؛ أما \(n\) فيجب أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا لأنه يمثل عدد الحدود.
