Ce que fait ce calculateur
Cet outil analyse l'équation classique du mouvement d'un projectile $$h(t) = -16t^{2} + vt + s$$ où la hauteur est exprimée en pieds (feet) et le temps en secondes. Le coefficient 16 provient de l'accélération de la pesanteur dans le système impérial (\(\tfrac{1}{2} \times 32\ \text{ft/s}^2\)) — gardez donc à l'esprit que cette formule utilise des unités anglo-saxonnes. Pour un calcul en mètres, le terme de gravité serait différent (voir la FAQ). Saisissez la vitesse initiale vers le haut v et la hauteur de lancement s, et le calculateur vous indique la hauteur maximale, le temps nécessaire pour l'atteindre et l'instant où l'objet touche le sol.
Comment l'utiliser
Saisissez la vitesse initiale en pieds par seconde et la hauteur initiale en pieds, puis lisez directement les résultats. La « hauteur maximale » correspond au sommet de la parabole, le « temps de montée » à son axe de symétrie, et « l'instant d'atterrissage » à la racine positive de l'équation.
La formule expliquée
Comme la parabole est tournée vers le bas, son sommet représente le point le plus élevé. L'axe de symétrie se situe en $$t = -\frac{b}{2a} = \frac{v}{32}$$ En réinjectant ce temps dans l'équation, on obtient la hauteur maximale $$h_{\max} = s + \frac{v^{2}}{64}$$ Pour déterminer le moment de l'atterrissage, on pose \(h = 0\) et on applique la formule quadratique à \(-16t^{2} + vt + s = 0\) ; la solution physiquement valable est la racine positive, soit $$t = \frac{v + \sqrt{v^{2} + 64s}}{32}$$
Exemple résolu
Lançons l'objet avec \(v = 64\ \text{ft/s}\) depuis une hauteur \(s = 80\ \text{ft}\). Temps de montée $$= \frac{64}{32} = 2\ \text{s}$$ Hauteur maximale $$= 80 + \frac{64^{2}}{64} = 80 + 64 = 144\ \text{ft}$$ Atterrissage : $$t = \frac{64 + \sqrt{4096 + 5120}}{32} = \frac{64 + \sqrt{9216}}{32} = \frac{64 + 96}{32} = 5\ \text{s}$$
FAQ
Pourquoi 16 et non 9,8 ? Le coefficient 16 correspond à l'emploi des pieds avec une gravité de \(32\ \text{ft/s}^2\). Pour un problème en mètres, utilisez plutôt \(-4{,}9t^{2}\).
Et s'il n'existe aucun temps d'atterrissage réel ? Si \(v^{2} + 64s\) est négatif, l'objet n'atteint jamais le sol (\(h = 0\)) dans le domaine des nombres réels ; cela ne se produit qu'avec une hauteur de départ négative et une faible vitesse.
Le sommet est-il toujours atteint en \(t = v/32\) ? Oui : l'axe de symétrie ne dépend que de \(v\) et du coefficient \(-16\), jamais de \(s\).
