2차함수 최고 높이·포물선 운동 계산기

계산 입력

초기 속도 v (ft/s)

초기 높이 s (ft)

결과

최고 높이

144

피트(ft)

최고점 도달 시간 (t = v/32)	2 s
착지 시간 (h = 0)	5 s

이 계산기의 기능

이 도구는 포물선 운동을 나타내는 대표적인 2차식 \(h(t) = -16t^{2} + vt + s\)를 분석합니다. 여기서 높이는 피트(ft), 시간은 초(s) 단위입니다. 계수 16은 야드파운드법(영미 단위계) 중력 항(½ × 32 ft/s²)에서 나온 값으로, 미국식 단위를 쓰는 물리 문제에 맞춰져 있다는 점을 기억해 두세요. (참고로 미터 단위로 계산할 때는 중력가속도 9.8 m/s²를 써서 계수가 달라집니다.) 초기 상승 속도 v와 발사 높이 초를 입력하면, 최고 높이, 그 높이에 도달하기까지 걸리는 시간, 그리고 물체가 지면에 닿는 시간을 계산해 줍니다.

사용 방법

초기 속도를 초당 피트(ft/s) 단위로, 초기 높이를 피트(ft) 단위로 입력한 뒤 결과를 확인하세요. "최고 높이"는 포물선의 꼭짓점, "최고점 도달 시간"은 대칭축, "착지 시간"은 방정식의 양수 근에 해당합니다.

공식 풀이

포물선이 아래로 볼록하기 때문에 꼭짓점이 가장 높은 지점이 됩니다. 대칭축은 \(t = -b/(2a) = v/32\)에 위치합니다. 이 시간을 다시 식에 대입하면 최고 높이 \(h_{\max} = s + v^{2}/64\)를 얻습니다. 물체가 언제 착지하는지 구하려면 h = 0으로 놓고 \(-16t^{2} + vt + s = 0\)에 근의 공식을 적용합니다. 이때 물리적으로 의미 있는 답은 양수 근인 $$t = \dfrac{v + \sqrt{v^{2} + 64s}}{32}$$입니다.

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발사체의 경로는 아래로 볼록한 포물선이며, 그 꼭짓점이 최고 높이입니다.

계산 예시

v = 64 ft/s, s = 80 ft에서 발사한다고 가정해 봅시다. 최고점 도달 시간 = \(64/32 = 2\)초. 최고 높이 = \(80 + 64^{2}/64 = 80 + 64 = 144\) ft. 착지 시간: $$t = \dfrac{64 + \sqrt{4096 + 5120}}{32} = \dfrac{64 + \sqrt{9216}}{32} = \dfrac{64 + 96}{32} = 5\ \text{초}.$$

자주 묻는 질문

왜 9.8이 아니라 16인가요? 계수 16은 피트 단위와 중력가속도 32 ft/s²를 사용하기 때문입니다. 미터 단위 문제에서는 \(-4.9t^{2}\)를 사용하세요.

착지 시간이 실수로 나오지 않으면 어떻게 되나요? \(v^{2} + 64s\)가 음수이면 물체가 실수 범위 안에서 h = 0인 지면에 닿지 않습니다. 이런 경우는 초기 높이가 음수이고 속도가 작을 때만 발생합니다.

최고점은 항상 \(t = v/32\)에 있나요? 네. 대칭축은 v와 -16 계수에만 의존하며, s와는 무관합니다.