ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّل هذه الأداة المعادلة التربيعية الكلاسيكية لحركة القذائف \( h(t) = -16t^{2} + vt + s \)، حيث يُقاس الارتفاع بالأقدام (feet) والزمن بالثواني. ينبع الثابت 16 من حد الجاذبية في النظام الإمبراطوري (½ × 32 قدم/ث²)، وهو نظام مستعمل في الولايات المتحدة؛ فإن كنت تعمل بالنظام المتري فاستبدِله بالقيمة المناسبة كما هو موضح أدناه. أدخل السرعة الابتدائية إلى الأعلى v وارتفاع الإطلاق ث، فتُعيد الحاسبة الارتفاع الأقصى، والزمن اللازم لبلوغ القمة، والزمن الذي يرتطم فيه الجسم بالأرض.
طريقة الاستخدام
أدخل السرعة الابتدائية بالأقدام في الثانية والارتفاع الابتدائي بالأقدام، ثم اقرأ النتائج. يمثّل «الارتفاع الأقصى» رأس القطع المكافئ، ويمثّل «زمن بلوغ القمة» محور التماثل، أما «زمن الارتطام بالأرض» فهو الجذر الموجب للمعادلة.
شرح القانون
بما أن القطع المكافئ يفتح نحو الأسفل، فإن رأسه هو أعلى نقطة في المسار. يقع محور التماثل عند \( t = -b/(2a) = v/32 \). وبتعويض هذا الزمن في المعادلة نحصل على الارتفاع الأقصى \( h_{\max} = s + v^{2}/64 \). ولمعرفة لحظة ارتطام الجسم بالأرض نضع \( h = 0 \) ونطبّق القانون العام على المعادلة \( -16t^{2} + vt + s = 0 \)؛ والجواب ذو المعنى الفيزيائي هو الجذر الموجب: $$t = \frac{v + \sqrt{v^{2} + 64s}}{32}$$
مثال محلول
أطلِق الجسم بسرعة \( v = 64 \) قدم/ث من ارتفاع \( s = 80 \) قدمًا. زمن بلوغ القمة \( = 64/32 = 2 \) ثانية. الارتفاع الأقصى \( = 80 + 64^{2}/64 = 80 + 64 = 144 \) قدمًا. زمن الارتطام: $$t = \frac{64 + \sqrt{4096 + 5120}}{32} = \frac{64 + \sqrt{9216}}{32} = \frac{64 + 96}{32} = 5 \text{ ثوانٍ}$$
الأسئلة الشائعة
لماذا 16 وليس 9.8؟ القيمة 16 تستخدم الأقدام وقيمة الجاذبية 32 قدم/ث². أما في المسائل المترية بالأمتار فاستعمل \( -4.9t^{2} \).
ماذا لو لم يوجد زمن ارتطام حقيقي؟ إذا كان المقدار \( v^{2} + 64s \) سالبًا، فإن الجسم لا يصل إلى الأرض عند \( h = 0 \) ضمن الأعداد الحقيقية؛ ولا يحدث ذلك هنا إلا مع ارتفاع ابتدائي سالب وسرعة صغيرة.
هل تكون القمة دائمًا عند \( t = v/32 \)؟ نعم، إذ يعتمد محور التماثل على \( v \) ومعامل \( -16 \) فقط، ولا يتأثر بقيمة \( s \).
