この計算ツールでできること
このツールは、放物運動の定番である二次式 \(h(t) = -16t^{2} + vt + s\) を解析します。ここで高さの単位はフィート、時間の単位は秒です。係数の16は、ヤード・ポンド法（インペリアル単位系）における重力加速度 32 ft/s² の半分（\(\frac{1}{2} \times 32\)）に由来します。つまりこの式はメートル法ではなくフィート基準の式であり、日本でよく使う 9.8 m/s² とは前提が異なる点に注意してください。初速度（上向き）v と打ち上げ時の高さ 秒 を入力すると、最高到達点、その点に達するまでの時間、そして物体が地面に落ちるまでの時間が表示されます。
使い方
初速度をフィート毎秒（ft/s）で、初期の高さをフィート（ft）で入力するだけで、結果がすぐに読み取れます。「最高到達点」は放物線の頂点、「頂点までの時間」は対称軸、「着地時間」は方程式の正の解にあたります。
公式の解説
放物線は下に凸ではなく上に凸（下向きに開く）ため、頂点が最も高い点になります。対称軸は \(t = -\frac{b}{2a} = \frac{v}{32}\) で求められます。この時間を式に代入すると、最高到達点 \(h_{\max} = s + \frac{v^{2}}{64}\) が得られます。物体が着地するタイミングを求めるには、\(h = 0\) として \(-16t^{2} + vt + s = 0\) に二次方程式の解の公式を当てはめます。物理的に意味を持つのは正の解、すなわち
$$t = \frac{v + \sqrt{v^{2} + 64s}}{32}$$です。
計算例
高さ \(s = 80\) ft の位置から、初速度 \(v = 64\) ft/s で打ち上げた場合を考えます。頂点までの時間は \(\frac{64}{32} = 2\) 秒。最高到達点は \(80 + \frac{64^{2}}{64} = 80 + 64 = 144\) ft。着地時間は
$$t = \frac{64 + \sqrt{4096 + 5120}}{32} = \frac{64 + \sqrt{9216}}{32} = \frac{64 + 96}{32} = 5 \text{ 秒}$$となります。
よくある質問
なぜ 9.8 ではなく 16 なのですか？ この 16 はフィートと重力加速度 32 ft/s² を前提にした値です。メートル単位で計算する場合は \(-4.9t^{2}\) を使ってください。
実数の着地時間が存在しない場合は？ \(v^{2} + 64s\) が負になると、物体は実数の範囲で \(h = 0\)（地面）に到達しません。これは初期高さがマイナスで、なおかつ初速度が小さい場合にのみ起こります。
頂点は常に \(t = \frac{v}{32}\) になりますか？ はい。対称軸は \(v\) と係数 \(-16\) だけで決まり、初期高さ \(s\) には影響されません。
