द्विघात अधिकतम ऊँचाई / प्रक्षेप्य कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

आरंभिक वेग v (फ़ीट/से)

आरंभिक ऊँचाई s (फ़ीट)

परिणाम

अधिकतम ऊँचाई

144

फ़ीट

चरम तक का समय (t = v/32)	2 s
ज़मीन पर गिरने का समय (h = 0)	5 s

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल प्रक्षेप्य गति के क्लासिक द्विघात समीकरण \( h(t) = -16t^{2} + vt + s \) का विश्लेषण करता है, जिसमें ऊँचाई फ़ीट में और समय सेकंड में मापा जाता है। यहाँ 16 का स्थिरांक इम्पीरियल गुरुत्व पद (\( \tfrac{1}{2} \times 32 \) फ़ीट/से²) से आता है — यानी यह सूत्र फ़ीट और फ़ीट/सेकंड वाली इकाइयों पर आधारित है। आरंभिक ऊर्ध्व वेग v और प्रक्षेपण की ऊँचाई से भरिए, और कैलकुलेटर आपको अधिकतम ऊँचाई, उस चरम तक पहुँचने में लगने वाला समय, और वस्तु के ज़मीन पर गिरने का समय बता देगा।

इसका उपयोग कैसे करें

आरंभिक वेग को फ़ीट प्रति सेकंड में और आरंभिक ऊँचाई को फ़ीट में दर्ज कीजिए, फिर नतीजे पढ़िए। "अधिकतम ऊँचाई" परवलय का शीर्ष है, "चरम तक का समय" समरूपता का अक्ष है, और "ज़मीन पर गिरने का समय" समीकरण का धनात्मक मूल है।

सूत्र की व्याख्या

चूँकि परवलय नीचे की ओर खुलता है, इसलिए इसका शीर्ष ही सबसे ऊँचा बिंदु होता है। समरूपता का अक्ष \( t = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{v}{32} \) पर होता है। यही समय वापस सूत्र में रखने पर अधिकतम ऊँचाई मिलती है: \( h_{\max} = s + \dfrac{v^{2}}{64} \)। वस्तु कब गिरेगी यह जानने के लिए \( h = 0 \) रखिए और \( -16t^{2} + vt + s = 0 \) पर द्विघात सूत्र लगाइए; भौतिक रूप से सार्थक उत्तर धनात्मक मूल होता है, $$ t = \frac{v + \sqrt{v^{2} + 64s}}{32} $$

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प्रक्षेप्य का पथ एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष अधिकतम ऊँचाई है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए प्रक्षेपण \( v = 64 \) फ़ीट/से के वेग से \( s = 80 \) फ़ीट की ऊँचाई से होता है। चरम तक का समय \( = \dfrac{64}{32} = 2 \) सेकंड। अधिकतम ऊँचाई \( = 80 + \dfrac{64^{2}}{64} = 80 + 64 = 144 \) फ़ीट। गिरने का समय: $$ t = \frac{64 + \sqrt{4096 + 5120}}{32} = \frac{64 + \sqrt{9216}}{32} = \frac{64 + 96}{32} = 5 \text{ सेकंड} $$

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

9.8 की जगह 16 क्यों? 16 का इस्तेमाल फ़ीट और 32 फ़ीट/से² वाले गुरुत्व मान के साथ होता है (अमेरिका में प्रचलित इम्पीरियल इकाई)। मीट्रिक समस्याओं में जहाँ मीटर का प्रयोग होता है, वहाँ \( -4.9t^{2} \) लगाइए।

अगर कोई वास्तविक गिरने का समय न मिले तो? अगर \( v^{2} + 64s \) ऋणात्मक हो जाए, तो वस्तु वास्तविक संख्याओं में कभी भी \( h = 0 \) पर ज़मीन तक नहीं पहुँचती; यह स्थिति केवल ऋणात्मक आरंभिक ऊँचाई और बहुत कम वेग होने पर ही बनती है।

क्या चरम हमेशा \( t = \dfrac{v}{32} \) पर ही होता है? हाँ, समरूपता का अक्ष केवल \( v \) और \( -16 \) गुणांक पर निर्भर करता है, \( s \) पर नहीं।