Что считает этот калькулятор
Инструмент разбирает классическое квадратное уравнение движения снаряда \(h(t) = -16t^{2} + vt + s\), где высота измеряется в футах, а время — в секундах. Важный нюанс: коэффициент 16 берётся из имперской системы и равен половине ускорения свободного падения 32 фут/с² (\(\tfrac{1}{2} \times 32\)). То есть формула рассчитана на футы, а не на метры. Укажите начальную скорость вверх v и высоту запуска с, и калькулятор выдаст максимальную высоту, время подъёма до пика и момент падения объекта на землю.
Как пользоваться
Введите начальную скорость в футах в секунду и начальную высоту в футах, после чего сразу увидите результат. «Максимальная высота» — это вершина параболы, «время до пика» — её ось симметрии, а «время падения» — положительный корень уравнения.
Разбор формулы
Поскольку парабола направлена ветвями вниз, её вершина — самая высокая точка траектории. Ось симметрии находится в точке \(t = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{v}{32}\). Подставив это время обратно в уравнение, получаем максимальную высоту \(h_{\max} = s + \dfrac{v^{2}}{64}\). Чтобы найти момент падения, приравниваем \(h = 0\) и решаем уравнение \(-16t^{2} + vt + s = 0\) через формулу корней квадратного уравнения; физический смысл имеет только положительный корень:
$$t = \dfrac{v + \sqrt{v^{2} + 64s}}{32}$$
Пример расчёта
Запуск со скоростью \(v = 64\) фут/с с высоты \(s = 80\) футов. Время до пика:
$$\frac{64}{32} = 2 \text{ с}$$Максимальная высота:
$$80 + \frac{64^{2}}{64} = 80 + 64 = 144 \text{ фута}$$Момент падения:
$$t = \frac{64 + \sqrt{4096 + 5120}}{32} = \frac{64 + \sqrt{9216}}{32} = \frac{64 + 96}{32} = 5 \text{ с}$$Частые вопросы
Почему 16, а не 9,8? Коэффициент 16 рассчитан на футы и ускорение 32 фут/с². Для метрических задач (высота в метрах) используйте \(-4{,}9t^{2}\).
Что если реального времени падения нет? Если выражение \(v^{2} + 64s\) отрицательно, объект никогда не достигает уровня \(h = 0\) в области действительных чисел. На практике это бывает только при отрицательной начальной высоте и малой скорости.
Всегда ли пик приходится на \(t = \dfrac{v}{32}\)? Да, ось симметрии зависит только от скорости \(v\) и коэффициента \(-16\), но не от начальной высоты \(s\).
