द्विघात सूत्र से द्विघात समीकरण हल करें (चरण-दर-चरण)

गणना दर्ज करें

a (x² का गुणांक)

b (x का गुणांक)

c (अचर पद)

परिणाम

दो वास्तविक मूल

x₁ = 3
x₂ = 2

विविक्तकर (b² − 4ac)	1

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल \(ax^2 + bx + c = 0\) के रूप वाले किसी भी द्विघात समीकरण को द्विघात सूत्र की मदद से हल करता है। बस तीनों गुणांक a, b और c दर्ज करें, और कैलकुलेटर आपको विविक्तकर (discriminant) के साथ दोनों मूल बता देगा — और जब विविक्तकर ऋणात्मक हो तो सम्मिश्र मूल (complex roots) भी। यह किसी भी वास्तविक गुणांक पर काम करता है, इसलिए बीजगणित के होमवर्क, भौतिकी की समस्याओं और इंजीनियरिंग की जाँच में यह बेहद काम आता है।

इसका उपयोग कैसे करें

x² का गुणांक a वाले बॉक्स में, x का गुणांक b में और अचर पद c में लिखें। उदाहरण के लिए, समीकरण \(x^2 - 5x + 6 = 0\) में \(a = 1\), \(b = -5\) और \(c = 6\) होते हैं। 'गणना करें' दबाते ही आपको विविक्तकर और दोनों हल दिख जाएँगे।

सूत्र को समझें

द्विघात सूत्र है $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ वर्गमूल के नीचे लिखा व्यंजक \(b^2 - 4ac\), विविक्तकर (Δ) कहलाता है। यदि \(\Delta > 0\) हो तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं; यदि \(\Delta = 0\) हो तो एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल होता है; और यदि \(\Delta < 0\) हो तो मूल \(\left(-\frac{b}{2a}\right) \pm \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i\) रूप वाले सम्मिश्र संयुग्मी जोड़े होते हैं। जब \(a = 0\) हो तो समीकरण द्विघात नहीं रह जाता, इसलिए टूल रैखिक हल \(x = -\frac{c}{b}\) पर लौट आता है।

विविक्तकर का चिह्न दो वास्तविक मूल, एक दोहराया मूल या दो सम्मिश्र मूल तय करता है।

द्विघात सूत्र, जिसके भाग नामांकित हैं, मूल के नीचे विविक्तकर सहित।

हल किया हुआ उदाहरण

\(x^2 - 5x + 6 = 0\) के लिए: विविक्तकर $$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ तो $$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2},$$ जिससे \(x_1 = 3\) और \(x_2 = 2\) मिलते हैं। आप गुणनखंड बनाकर इसकी जाँच कर सकते हैं: \((x - 2)(x - 3) = 0\)।

दोनों मूल वे बिंदु हैं जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

ऋणात्मक विविक्तकर का क्या अर्थ है? इसका मतलब है कि परवलय (parabola) x-अक्ष को कभी नहीं काटता, इसलिए दोनों मूल वास्तविक संख्याएँ न होकर सम्मिश्र संयुग्मी होते हैं।

क्या a शून्य हो सकता है? यदि \(a = 0\) हो तो समीकरण रैखिक होता है, द्विघात नहीं; ऐसे में कैलकुलेटर केवल एक हल \(x = -\frac{c}{b}\) बताता है।

मेरे दोनों मूल एक जैसे क्यों आ रहे हैं? जब विविक्तकर शून्य होता है, तब ± वाला पद गायब हो जाता है और दोनों मूल \(x = -\frac{b}{2a}\) पर मिल जाते हैं — यह एक दोहराया हुआ मूल है, जहाँ परवलय x-अक्ष को बस छूकर निकल जाता है।