Решение квадратного уравнения по формуле корней (с пошаговым разбором)

Введите расчет

a (коэффициент при x²)

b (коэффициент при x)

c (свободный член)

Результатов

Два действительных корня

x₁ = 3
x₂ = 2

Дискриминант (b² − 4ac)	1

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент решает любое квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\) по формуле корней через дискриминант. Введите три коэффициента — \(a\), \(b\) и \(c\), — и калькулятор покажет дискриминант и оба корня, включая комплексные, если дискриминант отрицателен. Он работает с любыми действительными коэффициентами, поэтому пригодится и для домашних заданий по алгебре, и для задач по физике, и для инженерных расчётов.

Как пользоваться

Впишите коэффициент при \(x^2\) в поле \(a\), коэффициент при \(x\) — в поле \(b\), а свободный член — в поле \(c\). Например, у уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\) будет \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). Нажмите «Рассчитать», и вы увидите дискриминант и два решения.

Разбор формулы

Формула корней квадратного уравнения выглядит так:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Выражение под корнем, \(b^2 - 4ac\), называется дискриминантом (\(\Delta\)). Если \(\Delta > 0\), у уравнения два различных действительных корня; если \(\Delta = 0\) — один (двукратный) действительный корень; если \(\Delta < 0\) — пара комплексно-сопряжённых корней вида \(\left(-\frac{b}{2a}\right) \pm \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i\). Когда \(a = 0\), уравнение перестаёт быть квадратным, и калькулятор переходит к линейному решению \(x = -\frac{c}{b}\).

Знак дискриминанта определяет два действительных корня, один кратный корень или два комплексных корня.

Формула корней квадратного уравнения с подписанными частями, включая дискриминант под корнем.

Пример с решением

Возьмём \(x^2 - 5x + 6 = 0\): дискриминант равен $$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1.$$ Тогда $$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2},$$ откуда \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 2\). Проверить можно разложением на множители: \((x - 2)(x - 3) = 0\).

Два корня — это точки, где парабола пересекает ось x.

Частые вопросы

Что означает отрицательный дискриминант? Это значит, что парабола нигде не пересекает ось x, поэтому корни оказываются не действительными, а комплексно-сопряжёнными.

Может ли \(a\) быть равным нулю? Если \(a = 0\), уравнение становится линейным, а не квадратным; в этом случае калькулятор выдаёт единственное решение \(x = -\frac{c}{b}\).

Почему оба корня одинаковые? Когда дискриминант равен нулю, слагаемое с \(\pm\) обнуляется, и оба корня совпадают в точке \(x = -\frac{b}{2a}\). Это двукратный корень: парабола лишь касается оси x.