근의 공식으로 이차방정식 풀기 (풀이 과정 포함)

계산 입력

a (x²의 계수)

b (x의 계수)

c (상수항)

결과

두 개의 실근

x₁ = 3
x₂ = 2

판별식 (b² − 4ac)	1

이 계산기로 무엇을 할 수 있나요

이 도구는 \(ax^2 + bx + c = 0\) 형태의 이차방정식을 근의 공식으로 풀어 줍니다. 세 계수 a, b, c만 입력하면 판별식과 두 근을 바로 알려 주며, 판별식이 음수일 때는 허근까지 계산합니다. 모든 실수 계수에 대해 작동하므로 수학 숙제는 물론 물리 문제 풀이나 공학 계산 검산에도 유용합니다.

사용 방법

x²의 계수는 a 칸에, x의 계수는 b 칸에, 상수항은 c 칸에 입력하세요. 예를 들어 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)이라는 방정식이라면 \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)이 됩니다. 계산 버튼을 누르면 판별식과 두 해를 확인할 수 있습니다.

공식 설명

근의 공식은 다음과 같습니다.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

제곱근 안의 식 \(b^2 - 4ac\)를 판별식(Δ)이라고 부릅니다. \(\Delta > 0\)이면 서로 다른 두 실근이, \(\Delta = 0\)이면 하나의 중근(겹근)이 생깁니다. \(\Delta < 0\)이면 두 근은 \(-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i\) 형태의 켤레복소수가 됩니다. 한편 \(a = 0\)인 경우는 이차방정식이 아니므로, 이 도구는 일차방정식의 해 \(x = -\frac{c}{b}\)로 처리합니다.

판별식의 부호에 따라 서로 다른 두 실근, 중근, 또는 두 허근이 결정된다.

근호 아래의 판별식을 포함해 각 부분에 이름을 붙인 이차방정식의 근의 공식.

예제 풀이

\(x^2 - 5x + 6 = 0\)을 예로 들어 보겠습니다. 판별식은 다음과 같습니다.

$$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

따라서

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

가 되어 \(x_1 = 3\), \(x_2 = 2\)라는 두 근이 나옵니다. 인수분해로도 확인할 수 있습니다: \((x - 2)(x - 3) = 0\).

두 근은 포물선이 x축과 만나는 점이다.

자주 묻는 질문

판별식이 음수면 어떤 의미인가요? 포물선이 x축과 만나지 않는다는 뜻입니다. 따라서 두 근은 실수가 아니라 켤레복소수가 됩니다.

a가 0이 될 수도 있나요? \(a = 0\)이면 이차방정식이 아니라 일차방정식입니다. 이때 계산기는 하나의 해 \(x = -\frac{c}{b}\)를 알려 줍니다.

두 근이 똑같이 나오는 이유는 무엇인가요? 판별식이 0이면 ± 항이 사라져 두 근이 모두 \(x = -\frac{b}{2a}\)로 일치합니다. 이를 중근이라고 하며, 포물선이 x축에 살짝 닿는 경우에 해당합니다.