正三角形とは？
正三角形とは、3つの辺がすべて同じ長さで、3つの内角がいずれもちょうど60°になる三角形のことです。この完全な対称性のおかげで、たった1つの値——一辺の長さ——だけで面積を求めることができます。本ツールでは、一辺の長さを入力するだけで、正三角形の面積・周の長さ・高さを瞬時に計算します。
このツールの使い方
正三角形の一辺の長さ（a）を、お好きな単位（cm、m、インチなど）で入力してください。すると、その単位の2乗（平方単位）で面積が表示されます。あわせて、周の長さ（3a）と高さ（垂線の長さ）も自動で表示されるので便利です。設定する項目は他に何もありません。正三角形の形は、一辺の長さだけで完全に決まるからです。
公式の解説
正三角形の面積は、次の式で求められます。
$$A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^{2}$$
この式は、三角形の一般的な面積公式「\(\frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}\)」から導かれます。底辺は一辺 \(a\) であり、正三角形の高さは \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\) です。これを「\(\frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\)」と計算すると、\(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^{2}\) になります。定数 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) はおよそ \(0.4330127\) です。
計算例
たとえば、一辺の長さが 6 単位の正三角形を考えてみましょう。\(a^{2} = 36\) となるので、面積は $$A = 0.4330127 \times 36 \approx 15.59$$ 平方単位です。周の長さは \(3 \times 6 = 18\) 単位、高さは \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 \approx 5.20\) 単位となります。
よくある質問
すべての辺が等しくなければいけませんか？ はい。この公式は正三角形にのみ使えます。それ以外の三角形には、ヘロンの公式または「\(\frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}\)」をお使いください。
面積の単位はどうなりますか？ 一辺に入力した単位の2乗になります（例：cm → cm²）。
なぜ \(\sqrt{3}\) が出てくるのですか？ これは正三角形の高さに由来します。高さは、三角形を半分に分けてピタゴラスの定理を使うことで導かれるためです。
