베타분포 계산기

평균	0.5
분산	0.083333
표준편차	0.288675
최빈값	NaN

베타분포란?

베타분포(Beta distribution)는 구간 [0, 1]에서 정의되는 연속확률분포로, 두 개의 양수 형상 모수 α(알파)와 β(베타)에 의해 결정됩니다. 값이 0과 1 사이의 단위 구간에 머물기 때문에, 비율·확률·백분율·비율값을 모델링하는 데 가장 자연스러운 분포입니다. 예를 들어 전환율(conversion rate), 야구의 타율, 베이즈 추론에서 알 수 없는 성공 확률 등을 다룰 때 쓰입니다. 베타분포는 이항분포의 켤레 사전분포(conjugate prior)라는 점에서도 특히 중요합니다.

0에서 1 구간에서 서로 다른 형태 모수를 가진 여러 베타 분포 확률밀도 곡선 — 베타 분포는 [0,1]에서 정의되며 α와 β에 따라 모양이 바뀝니다.

계산기 사용 방법

두 형상 모수 α와 β(둘 다 0보다 커야 합니다), 그리고 0과 1 사이의 값 x를 입력하세요. 그러면 해당 지점에서의 확률밀도 $f(x)$와 함께 분포의 평균, 분산, 표준편차, 최빈값이 계산됩니다. α가 클수록 확률질량이 1 쪽으로 쏠리고, β가 클수록 0 쪽으로 쏠리며, 두 값이 같으면 0.5를 중심으로 좌우 대칭이 됩니다.

공식 이해하기

평균은 $$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$이고, 분산은 $$\sigma^2 = \frac{\alpha\,\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}$$입니다. 확률밀도는 $$f(\text{x};\,\alpha,\beta) = \frac{\text{x}^{\,\alpha-1}\left(1-\text{x}\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)}$$로 정의되며, 여기서 $B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$는 곡선 아래 전체 면적을 1로 정규화해 주는 베타 함수입니다. α와 β가 모두 1보다 클 때, 최빈값(곡선의 정점)은 $\frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}$ 지점에 위치합니다.

베타 분포 PDF 공식 구성 요소 다이어그램 — 밀도는 x^(α−1), (1−x)^(β−1), 정규화 베타 함수 B(α,β)를 결합합니다.

계산 예시

α = 2, β = 5, x = 0.5인 경우를 살펴보겠습니다. 평균은 $\frac{2}{7} \approx 0.2857$입니다. 분산은 $$\frac{2 \cdot 5}{(7^2)(8)} = \frac{10}{392} \approx 0.02551$$입니다. $B(2, 5) = \frac{1}{30}$이므로 확률밀도는 $$f(0.5) = 0.5^1 \cdot 0.5^4 \cdot 30 = 0.5^5 \cdot 30 = 0.03125 \cdot 30 = 0.9375$$가 됩니다.

형상 모수가 분포를 변경하는 방법

베타 분포는 구간 $[0,1]$에 정의되며 전체 형태는 두 개의 양수 형상 모수 $\alpha$와 $\beta$로 제어됩니다. 평균은 항상 $\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$이고, 분산은 $\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$이며, 최빈값(when $\alpha,\beta>1$)은 $\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$입니다. 아래 표는 여러 고전적 모수 쌍을 보여줍니다.

(α, β)	형태	평균 = α/(α+β)	최빈값	분산
(1, 1)	[0,1]에서 균등(평평)	0.5	없음(평평)	0.0833
(0.5, 0.5)	U자형(양쪽 끝에 집중, 아크사인)	0.5	0과 1(반최빈값)	0.1250
(2, 2)	대칭 종 모양, 중심에서 뾰족함	0.5	0.5	0.0500
(5, 5)	더 좁은 대칭 종 모양	0.5	0.5	0.0227
(2, 5)	오른쪽 편향(0 방향으로 집중)	0.2857	0.2	0.0255
(5, 2)	왼쪽 편향(1 방향으로 집중)	0.7143	0.8	0.0255

두 가지 패턴이 눈에 띕니다. 첫째, $\alpha$와 $\beta$를 바꾸면 분포가 $x=0.5$를 중심으로 대칭이 되므로, (2,5)와 (5,2)는 같은 형태와 분산이지만 편향이 반대입니다. 둘째, 비율을 유지하면서 두 모수를 모두 증가시키면(예: (2,2) $\to$ (5,5)) 평균은 0.5로 유지되지만 분산이 감소하여 곡선이 평균 주위에 더 타이트하게 집중됩니다.

베타 결과 해석

베타 분포는 $[0,1]$에 지원되므로, 미지의 비율, 확률 또는 비율에 대한 자연스러운 모델입니다. 각 요약 통계량은 다른 질문에 답합니다:

평균 $\mu=\alpha/(\alpha+\beta)$는 기대 비율입니다 — 기본 확률에 대한 최선의 단일 수치 추정입니다.
최빈값 $(\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)$는 가장 가능성 높은 값, 즉 밀도의 피크 위치입니다. 내부 피크로 존재하려면 $\alpha>1$과 $\beta>1$일 때만 가능하며, 그렇지 않으면 질량이 끝점에 집중됩니다.
분산과 표준편차는 확산, 즉 비율에 대해 남아있는 불확실성을 측정합니다. 작은 SD는 진정한 값이 평균 근처에 있을 것이라는 확신이 있음을 의미합니다.

$\alpha+\beta$ 수량은 표본 크기 또는 집중도처럼 작용합니다: 클수록 분산이 작아지고 밀도가 평균 주위에 더 집중됩니다. 두 분포는 같은 평균을 공유할 수 있지만 확실성이 매우 다를 수 있습니다 — 베타(2,2)와 베타(50,50)는 모두 0.5에 중심이 있지만 후자는 훨씬 더 좁습니다.

베이지안 추론에서 베타는 이항식(베르누이) 우도에 대한 켤레 사전입니다. 사전 베타($\alpha_0,\beta_0$)로 시작하고 $s$번의 성공과 $f$번의 실패를 관찰하면, 사후는 단순히 베타($\alpha_0+s,\ \beta_0+f$)입니다. 균등 베타(1,1) 사전을 사용하면, $\alpha$는 사실상 성공 횟수에 1을 더하고 $\beta$는 실패 횟수에 1을 더합니다; 사후 평균 $(s+1)/(s+f+2)$는 고전적 라플라스 연속 법칙입니다.

마지막으로, $f(x)$는 확률이 아니라 확률 밀도임을 기억하세요. 그 값은 1을 초과할 수 있습니다(예를 들어 타이트하게 집중된 베타의 피크 근처), 그리고 두 점 사이의 곡선 아래 면적만—단일 지점의 높이는 절대 아닙니다—실제 확률을 줍니다. $[0,1]$에 대한 총 면적은 항상 1입니다.

정의 및 용어집

α (알파): 첫 번째 형상 모수, $\alpha>0$. 대략적으로 "성공"의 가중치를 나타내고, 더 큰 $\alpha$는 질량을 1로 밀어냅니다.
β (베타): 두 번째 형상 모수, $\beta>0$. 대략적으로 "실패"의 가중치를 나타내고, 더 큰 $\beta$는 질량을 0으로 밀어냅니다.
확률밀도 f(x): 확률 밀도 함수, $f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$ for $0\le x\le 1$. 상대적 가능성을 설명하고, 확률은 그 아래 면적입니다.
베타 함수 B(α,β): 정규화 상수, $B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$. 그것으로 나누면 밀도가 1로 적분됩니다.
감마 함수 Γ: 계승의 연속 확장, $\Gamma(n)=(n-1)!$ 양의 정수의 경우, 일반적으로 $\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$로 정의됩니다. 위의 베타와 감마 함수를 연결합니다.
평균: 기대값, $\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ — 장기 평균 비율입니다.
분산: 확산의 척도, $\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$입니다.
표준편차: 분산의 제곱근, $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$, $x$와 같은 단위로 표현됩니다.
최빈값: 가장 가능성 높은 값(밀도의 피크), $\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ when $\alpha>1$ and $\beta>1$입니다.
켤레 사전: 주어진 우도와 결합되어 같은 가족의 사후를 산출하는 사전 분포입니다. 베타는 이항식/베르누이 우도에 대한 켤레 사전입니다.
지원 [0,1]: 확률 변수가 취할 수 있는 값의 범위입니다. 베타 분포는 폐구간 $[0,1]$에서만 정의되어 비율과 확률에 이상적입니다.