이 정육면체 계산기로 할 수 있는 일
정육면체는 직육면체 가운데 가장 대칭적인 입체입니다. 12개의 모서리 길이가 모두 같고, 6개의 면이 모두 똑같은 정사각형이며, 모든 각이 직각입니다. 이런 완전한 대칭 덕분에 단 하나의 값만 알면 입체 전체가 결정됩니다. 이 계산기에서는 한 변의 길이, 면대각선, 공간(입체)대각선, 표면적, 부피 중 딱 하나만 입력하면 나머지 네 가지 값을 즉시 알려 줍니다.
사용 방법
먼저 "알고 있는 값" 드롭다운에서 이미 알고 있는 항목을 고르고, 숫자를 입력하세요. 그런 다음 원하는 경우 단위 표시와 유효숫자 자릿수를 선택하면 됩니다. 단위는 표시용일 뿐입니다. 길이 값에는 입력한 단위가, 넓이에는 제곱 단위가, 부피에는 세제곱 단위가 붙지만, 모든 결과가 입력한 것과 동일한 기준 단위로 표현되므로 SI 단위 환산은 따로 이루어지지 않습니다.
공식 풀이
정육면체의 모든 성질은 모서리 길이 \(a\) 하나에서 나옵니다. 면대각선은 한 정사각형 면의 마주 보는 꼭짓점을 잇는 선이므로, 피타고라스 정리에 따라 \(f = a\sqrt{2}\) 입니다. 공간대각선은 한 꼭짓점에서 정반대 꼭짓점까지 입체 내부를 가로지르는 선으로 \(d = a\sqrt{3}\) 입니다. 전체 표면적은 똑같은 정사각형 면 6개를 더한 값이므로 \(S = 6a^2\) 이고, 부피는 \(V = a^3\) 입니다.
$$f = a\sqrt{2},\quad d = a\sqrt{3},\quad S = 6a^2,\quad V = a^3$$다른 값을 입력하면 계산기는 먼저 이 관계식을 역으로 풀어 \(a\)를 구한 뒤(예: \(a = \sqrt{\tfrac{S}{6}}\) 또는 \(a = \sqrt[3]{V}\)), 다시 위의 네 공식을 적용합니다.
$$a = \frac{f}{\sqrt2} = \frac{d}{\sqrt3} = \sqrt{\tfrac{S}{6}} = \sqrt[3]{V}$$
예제 풀이
부피가 64라고 해 봅시다. 한 변의 길이는 \(a = \sqrt[3]{64} = 4\) 입니다. 따라서 면대각선 \(f = 4\sqrt{2} \approx 5.65685\), 공간대각선 \(d = 4\sqrt{3} \approx 6.92820\), 표면적 \(S = 6\cdot 4^2 = 96\), 부피 \(V = 4^3 = 64\) 가 됩니다. "부피"를 선택하고 64를 입력하면 정확히 이 값들이 그대로 나옵니다.
자주 묻는 질문
면대각선과 공간대각선은 어떻게 다른가요? 면대각선은 한 정사각형 면 위에 평평하게 놓인 선(길이 \(a\sqrt{2}\))이고, 공간(입체)대각선은 정육면체 내부를 관통하는 선(길이 \(a\sqrt{3}\))입니다.
0이나 음수를 입력해도 되나요? 안 됩니다. 실제 정육면체는 양수 크기를 가져야 하므로 입력값은 반드시 0보다 커야 합니다.
단위를 바꿔도 왜 숫자가 그대로인가요? 단위는 단순한 표시일 뿐입니다. 모든 결과가 입력한 것과 동일한 단위를 기준으로 표현되므로, 센티미터든 미터든 단위 없음이든 계산 결과의 숫자는 똑같습니다.
