Tam giác 30-60-90 là gì?
Tam giác 30-60-90 là một tam giác vuông đặc biệt có ba góc trong đo chính xác là 30°, 60° và 90°. Vì các góc luôn cố định nên ba cạnh luôn giữ nguyên một tỉ lệ. Nếu cạnh góc vuông ngắn (cạnh đối diện góc 30°) có độ dài x, thì cạnh góc vuông dài (đối diện góc 60°) bằng \(x\sqrt{3}\) và cạnh huyền (đối diện góc 90°) bằng \(2x\). Chính tỉ lệ $$x : x\sqrt{3} : 2x$$ này cho phép bạn giải trọn cả tam giác chỉ từ một cạnh đã biết.
Cách dùng máy tính
Hãy chọn cạnh mà bạn đã biết — cạnh góc vuông ngắn, cạnh góc vuông dài hay cạnh huyền — rồi nhập độ dài của nó. Máy tính sẽ tính ra cạnh ngắn x trước, sau đó suy ra mọi đại lượng còn lại: các cạnh khác, diện tích và chu vi. Công cụ hoạt động với mọi số dương và mọi đơn vị (cm, m, inch, feet), miễn là bạn dùng nhất quán một đơn vị.
Giải thích công thức
Mọi thứ đều quy về cạnh ngắn x. Nếu biết cạnh dài, \(x = \text{cạnh dài} \div \sqrt{3}\); nếu biết cạnh huyền, \(x = \text{cạnh huyền} \div 2\). Khi đó cạnh dài = \(x\sqrt{3}\), cạnh huyền = \(2x\), diện tích = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2\) và chu vi = $$x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})$$
Ví dụ minh họa
Giả sử cạnh ngắn bằng 5. Khi đó cạnh dài = $$5 \times \sqrt{3} \approx 8{,}66$$ cạnh huyền = $$2 \times 5 = 10$$ diện tích = $$\frac{\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 21{,}65$$ và chu vi = $$5 + 8{,}66 + 10 = 23{,}66$$
Bảng tham chiếu tỉ lệ cạnh tam giác 30-60-90
Trong mọi tam giác vuông 30-60-90, ba cạnh có tỉ lệ cố định là \(1 : \sqrt{3} : 2\). Nếu cạnh ngắn (đối diện với góc 30°) là \(a\), thì cạnh dài (đối diện với góc 60°) là \(a\sqrt{3}\) và cạnh huyền (đối diện với góc 90°) là \(2a\). Diện tích là \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) và chu vi là \(a(3+\sqrt{3})\). Bảng dưới đây liệt kê các giá trị chính xác và gần đúng (sử dụng \(\sqrt{3}\approx1.732\)) cho một số độ dài cạnh ngắn phổ biến.
| Cạnh ngắn \(a\) | Cạnh dài \(a\sqrt{3}\) | Cạnh huyền \(2a\) | Diện tích \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) | Chu vi \(a(3+\sqrt{3})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{3}\approx1.732\) | 2 | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866\) | \(3+\sqrt{3}\approx4.732\) |
| 2 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | 4 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | \(\approx9.464\) |
| 5 | \(5\sqrt{3}\approx\) 8.660 | 10 | \(\tfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.651\) | \(\approx23.660\) |
| 10 | \(10\sqrt{3}\approx17.321\) | 20 | \(50\sqrt{3}\approx86.603\) | \(\approx47.321\) |
Mỗi hàng tăng theo tỉ lệ tuyến tính: tăng gấp đôi cạnh ngắn sẽ tăng gấp đôi mọi cạnh và chu vi, nhưng tăng gấp bốn lần diện tích (vì diện tích phụ thuộc vào \(a^{2}\)).
Câu hỏi thường gặp
Cạnh nào là cạnh ngắn? Cạnh ngắn luôn là cạnh đối diện góc nhỏ nhất, tức góc 30°. Đây là cạnh ngắn nhất trong ba cạnh.
Tôi có thể nhập cạnh huyền không? Có. Chọn "Cạnh huyền" trong menu; máy tính sẽ chia cho 2 để tìm cạnh ngắn rồi dựng lại toàn bộ tam giác.
Cạnh dài có gấp đôi cạnh ngắn không? Không — đây là một lỗi sai phổ biến. Cạnh huyền mới gấp đôi cạnh ngắn; còn cạnh dài bằng \(\sqrt{3}\) (≈1,732) lần cạnh ngắn.
